No es necesario conocer demasiado la teoría de Fourier. Por supuesto que ayuda, pero no es necesario. Hay muchas aplicaciones diferentes de los métodos de Fourier, por ejemplo
- Carr Madan (1999): se amortigua el precio de la opción en función del precio del logaritmo de la huelga y se calcula la transformada de Fourier de todo el precio de la opción
- Bakshi y Madan (2000), Duffie, Pan y Singleton (2000): Se transforma de Fourier la densidad y se obtiene una fórmula similar a la solución de Black-Scholes. Una descomposición del precio de la opción de compra en Delta y probabilidad de ejercicio.
- Lewis (2001): se transforma de Fourier el pago de la opción (estos tienen un crecimiento típicamente polinómico, por lo que se necesita un transformada de Fourier generalizada que se extiende al dominio complejo. Este enfoque requiere cierto análisis complejo (teorema del residuo) y, de hecho, es equivalente al de Carr Madan (1999): Elegir un contorno para integrar a lo largo o un factor de amortiguación óptimo es la misma cuestión.
- Método CONV y COS: Son algoritmos numéricos estables que, por ejemplo, permiten calcular muy rápidamente las opciones europeas, bermudas y (como límite) americanas.
En general, hay que tener en cuenta que los métodos de Fourier no se aplican a las opciones fuertemente dependientes de la trayectoria (asian, look-backs, etc.) Además, la idea principal es siempre sustituir la integral (expectativa) que se produce a partir de la fijación de precios neutrales al riesgo por otra integral que contenga la función característica.
En cuanto a las matemáticas, hay dos cosas que creo que son especialmente útiles.
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Teorema de inversión de Gil-Paelz ¿En qué consiste la fijación de precios de las opciones? Suponiendo un modelo de distribución de $S_T$ y calcular la expectativa (descontada) del resultado. Se trata de una integral del resultado por la densidad. Muchos procesos y modelos (por ejemplo, SVJ, VG, NIG, CGMY, etc.) tienen densidades complicadas pero funciones características fáciles. Obsérvese que \begin {align*} \varphi_ { \ln (S_T)}(u) = \mathbb {E}^ \mathbb {Q} \left [e^{iu \ln (S_T)} \right ] = \int_\mathbb {R} e^{iux} f_{ \ln (S_T)}(x) \mathrm {d}x, \end {align*} donde $f_{\ln(S_T)}$ es la densidad neutra de riesgo de $\ln(S_T)$ . Así, la función característica de $\ln(S_T)$ es la transformada de Fourier de su densidad $f_{\ln(S_T)}$ . Por lo tanto, $\varphi_{\ln(S_T)}$ capta la distribución de $\ln(S_T)$ y podemos demostrar que \begin {align*} F_{ \ln (S_T)}(x) &= \frac {1}{2}+ \frac {1}{2 \pi } \int_0 ^ \infty \frac {e^{iux} \varphi_ { \ln (S_T)}(-u)-e^{-iux} \varphi_ { \ln (S_T)}(u)}{iu} \mathrm {d}u. \end {align*} Esto ayudará mucho a derivar diferentes fórmulas de valoración de opciones. Tenga en cuenta que normalmente consideramos $\ln(S_T)$ en lugar de $S_T$ ya que la función característica ya implica de alguna manera la función exponencial.
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Principio de incertidumbre . Este es un concepto de la física y establece que si $f$ ''se extiende ampliamente'', entonces su transformada de Fourier $\hat{f}$ es más bien puntiagudo y tiene un soporte ''pequeño''. Esto significa que si tiene una opción con un vencimiento corto, la función de densidad tendrá un pico, ya que no hay tiempo para grandes movimientos. Al fin y al cabo, una acción no se moverá mucho en una o dos semanas. Por lo tanto, la función chracteristica, $\hat{f}$ se extenderá mucho y, debido al comportamiento oscilante, puede ser difícil de integrar numéricamente.
Schmelzle escribió un buen documento de estudio, pero su trabajo incluye algunos errores en la sección sobre el enfoque de Lewis (2001). Si te interesa la aplicación de estos modelos, echa un vistazo a Hirsa .
P.D. Cuando miré por primera vez los métodos de Fourier, mi formación era de análisis real y teoría de la probabilidad. Igual que la tuya. Y pude seguirlo y entenderlo perfectamente. No te preocupes :)
