Crecimiento de la cuenta de efectivo en Burgard & Kjaer (2011)

Question

Estoy releyendo [1] y hay algo que no consigo entender esta vez.

En la sección 3, página 6 del documento, derivan el crecimiento de la cuenta de efectivo cuando la cartera de cobertura incluye el activo subyacente $S$ una fianza de recuperación cero del vendedor $P_B$ y una fianza de recuperación cero de la contraparte $P_C$ . Al explicar el crecimiento de la cuenta de efectivo $d\bar{\beta}_F(t)$ escriben (énfasis mío):

A partir del análisis anterior, cualquier excedente de efectivo que tenga el vendedor después de comprar los bonos propios debe ganar la tasa libre de riesgo $r$ [...]

A continuación, derivan la siguiente ecuación diferencial para la cuenta de caja, Ecuación (8):

$$d\bar{\beta}_F(t)=\{r(-\hat{V}-\alpha_BP_B)^++r_F(-\hat{V}-\alpha_BP_B)^-\}dt$$

Las otras cuentas de efectivo crecen, $d\bar{\beta}_S$ y $d\bar{\beta}_C$ El coste de financiación del activo subyacente $S$ y el bono de contrapartida $P_C$ .

¿Por qué los autores sólo consideran el remanente de tesorería tras la compra de bonos propios $P_B$ en la ecuación (8), en lugar de contabilizar también la compra/venta de $S$ y $P_C$ ?

Me parece que la cartera de cobertura incurre en costes/beneficios de financiación para $S$ , $P_C$ y $P_B$ por lo que deberíamos considerar el coste/beneficio de financiación residual incluyendo todas las compras (dado que la cuenta de efectivo es la variable de ajuste en la cartera de cobertura que permite igualarla al valor del contrato de derivados en cualquier momento $t$ ).

Así que la ecuación (8) debería sustituirse por algo parecido a

$$\begin{align} &d\bar{\beta}_B(t)=-\alpha_BrP_Bdt \\[2pt] &d\bar{\beta}_F(t)=\{r(-\hat{V}-\delta S-\alpha_CP_C-\alpha_BP_B)^++r_F(-\hat{V}-\delta S-\alpha_CP_C-\alpha_BP_B)^-\}dt \end{align}$$

Referencias

1] Burgard, Christoph y Kjaer, Martin (2011). "Representaciones de ecuaciones diferenciales parciales de derivados con riesgo de contraparte bilateral y costes de financiación" , La Revista de Riesgo de Crédito , Vol. 7, No. 3, 1-19.

Answer 1

Tras un análisis más profundo, los resultados obtenidos por Burgard y Kjaer se basan en el supuesto de que la financiación del activo $S$ y el bono de contrapartida $P_C$ se consigue totalmente a través del mercado de repos, mientras que la financiación de los bonos propios no está garantizada.

Para hacer la derivación más rigurosa, introduzcamos formalmente en su modelo lo siguiente, bien definido activos de financiación :

1. Un acuerdo de recompra sobre subyacentes $S$ con dinámica $\text{d}R_S(t)=q_SR_S(t)\text{d}t$ ;
2. Otro repo sobre el bono de contrapartida con dinámica $\text{d}R_C(t)=rR_C(t)\text{d}t$ ;
3. Una cuenta de financiación $F>0$ con dinámica $\text{d}F(t)=r_F(t)F(t)\text{d}t$ para el préstamo;
4. Una cuenta de depósito $D>0$ con dinámica $\text{d}D(t)=r(t)D(t)\text{d}t$ para los préstamos.

Modelamos los repos de la misma manera que una cuenta bancaria o una cuenta de garantía. Esto es coherente, ya que un repo es otro tipo de activo de financiación y, por tanto, funciona de forma muy parecida a, por ejemplo, un préstamo del Tesoro. Sin embargo, deberíamos esperar $q_S<r_F$ dado que un repo debe interpretarse como un préstamo garantizado, que es el supuesto que hace Piterbarg en [2]. Por otro lado, Burgard y Kjaer suponen que el coste de financiación de $P_C$ es el tipo libre de riesgo, lo que parece extraño dado que el bono es arriesgado.

Su cartera de cobertura, es decir, la ecuación (6), puede entonces reescribirse: $$\begin{align} -\hat{V}&= \delta S+\alpha_BP_B+\alpha_CP_C+\beta \\ &= \delta S+\alpha_BP_B+\alpha_CP_C+(\beta_SR_S+\beta_CR_C+\beta_FF+\beta_DD) \end{align}$$ donde su " unidades de efectivo " $\beta(t)$ deben entenderse como la suma de todos los activos de financiación, cada uno de ellos mantenido en unidades $\beta_X$ . Si financiamos totalmente el activo $S$ y el vínculo $P_C$ a través de repos, entonces sus valores deben anularse entre sí, es decir: $$\beta_S=-\delta\frac{S}{R_S}, \qquad \beta_C=-\alpha_C\frac{P_C}{R_C}$$ Nos queda entonces: $$-\hat{V}-\alpha_BP_B=\beta_FF+\beta_DD$$ Podemos fijar las unidades de las cuentas de financiación y depósito para garantizar la cobertura de la cartera $\hat{V}$ . El primero se extrae cuando hay que tomar dinero prestado, y viceversa para el segundo. Por lo tanto: $$\beta_F=\left(\frac{-\hat{V}-\alpha_BP_B}{F}\right)^-, \qquad \beta_D=\left(\frac{-\hat{V}-\alpha_BP_B}{D}\right)^+$$ Luego viene por la positividad de $F$ y $D$ : $$\begin{align} \beta_F\text{d}F+\beta_D\text{d}D &=\beta_Fr_FF\text{d}t+\beta_DrD\text{d}t \\ &=r_F(-\hat{V}-\alpha_BP_B)^-\text{d}t+r(-\hat{V}-\alpha_BP_B)^+\text{d}t \end{align}$$ que corresponde a su ecuación (8).

Referencias

2] Piterbarg, Vladimir (2012). "Financiación más allá del descuento: acuerdos de garantía y fijación de precios de los derivados", Riesgo .