Para el caso de dos bienes, ponga un ejemplo de preferencias que estén representadas por una función de utilidad continua que permita curvas de indiferencia gordas

Question

La pregunta del título parece una pregunta trampa, debido a la propiedad de monotonicidad que tienen las curvas de indiferencia, de forma que para dos bienes x e y, la monotonicidad fuerte implica y > x.

¿Es posible responder a la pregunta estipulando el área bajo una curva?

Answer 1

$$u(x, y) = 2$$ es un ejemplo sencillo de función de utilidad continua con curva de indiferencia gruesa.

\begin {eqnarray*} u(x, y)= \begin {casos} x & x < 1 \\ 1 & 1 \leq x < 2 \\ x - 1 y x \geq 2 \end {casos} \end {eqnarray*}

es otra función de utilidad continua con curva de indiferencia gruesa para $u=1$ .

Answer 2

¿Qué tal una función de utilidad que sólo disfruta de cantidades discretas? Esto toma valores discretos pero permite entradas continuas.

$$U(x,y) = (floor(x))^{\alpha} \cdot (floor(y))^{1-\alpha}$$

    import numpy as np
    import seaborn as sns
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt

    x = np.arange(0, 10, 0.01)
    y = np.arange(0, 10, 0.01)
    alpha = 0.7

    xv, yv = np.meshgrid(x, y)

    def U(x1,y1, alpha1):
        return(np.floor(x1)**alpha1 * np.floor(y1)**(1-alpha1))

    uv = U(xv,yv, alpha)

    fig, ax = plt.subplots()
    CS = ax.contourf(xv, yv,uv, levels=np.unique(uv))
    ax.set_xlabel('x')
    ax.set_ylabel('y')
    plt.colorbar(CS)
    plt.show()

Si debe ser fuertemente monótona y diferenciable, entonces no, creo que es imposible. Se dice que las preferencias de un agente son fuertemente monótonas si, dado un conjunto de consumo $x$ el agente prefiere todos los paquetes de consumo $y$ que tienen más de al menos un bien, y no menos en cualquier otro bien. Es decir $y\geq x$ y $y\neq x$ implica $y\succ x$ . Si se trata de una función de utilidad continua y diferenciable, significa que: $$ \frac{\partial U}{\partial X_{i}} > 0 \: \forall i$$ Esto implica que las curvas de indiferencia no pueden ser gordas. Considere la posibilidad de estar en una curva de indiferencia delgada y, manteniendo fija x, aumentar y en una cantidad infinitesimal. Esto aumentará la utilidad en $\frac{\partial U}{\partial y}$ que acabamos de estipular es positivo. Por lo tanto, se debe pasar a una curva de indiferencia superior y, por lo tanto, no es "gorda" en la dirección y. Del mismo modo, dar un paso infinitesimal en la dirección x manteniendo fija la dirección y aumenta la utilidad en $\frac{\partial U}{\partial x}$ que también acabamos de estipular es positivo. Así que esta función de utilidad no puede tener curvas de indiferencia gordas.

No sé si esto también es cierto para las funciones de utilidad no diferenciables.