Considere la siguiente función de producción Cobb-Douglas: $$Y_t=\bar AK_t^{1/3}\bar L^{2/3}$$
La tasa de crecimiento del PIB per cápita para esta ecuación en tiempo continuo es $\frac{y'_t}{y_t}= \frac{1}{3K_t}$ donde $y_t=\frac{Y_t}{\bar L}$
Utilizando la Ley del Movimiento del Capital:
$$\Delta K_{t+1}=\bar sY_t-dK_t \implies \frac{\Delta K_{t+1}}{K_t}=\bar s \frac{Y_t}{K_t}-d$$
donde $\bar s$ representa la tasa de ahorro.
Y la relación capital-producto en estado estacionario: $$\frac{K^*}{Y^*}=\frac{\bar s}{\bar d}$$
donde $\bar d$ representa la tasa de depreciación
Demuestre que la tasa de crecimiento del PIB per cápita es igual a $$\frac{1}{3} \bar s \frac{Y^*}{K^*} (\frac{(K^*)^{2/3}}{K_t^{2/3}} -1)$$
No tengo ni idea de cómo se supone que debo obtener la ecuación de $\frac{y'_t}{y_t}= \frac{1}{3K_t}$ porque parece que esto no se deriva por sustitución.
Después de un poco de trabajo, me di cuenta de que la siguiente ecuación se parece un poco:
$$\frac{1}{3} \bar s \frac{Y^*}{K^*} (\frac{(K^*)^{2/3}}{K_t^{2/3}} -1) =\frac{1}{3} \bar d \frac{\Delta K_{t+1}}{K_t}$$
Le agradezco si alguien puede darme algún consejo sobre cómo debo seguir adelante. Muchas gracias.
