Esta es una pregunta de práctica para un examen:
- Consideremos un mercado que consiste en una cuenta bancaria con un interés constante tipo de interés $r$ y una acción $S$ . La acción paga un dividendo proporcional de tamaño $\delta S(T_{0-})$ en el momento $T_0$ . Considere un $T$ -Demanda que paga $X = S(T)$ en el momento $T$ , donde $T > T_0$ .
a) ¿Cuál es el precio libre de arbitraje de $X$ en el momento $0$ ?
b) Encontrar una estrategia de réplica para $X$
Para la primera pregunta, si suponemos que la volatilidad de la acción es constante (es decir, Black-Scholes), entonces tenemos la relación
$$\Pi_{\delta}(t,s) = \Pi(t,(1-\delta)s)$$ donde $\Pi_{\delta},\Pi$ son las funciones de fijación de precios para un crédito sobre el subyacente con y sin dividendos, respectivamente, y dado que el precio del crédito $X=S(T)$ (en un contexto sin dividendos) es simplemente $\Pi(t) = s$ , donde $S(t) = s$ obtenemos
$$\Pi_{\delta}(t,s) = s(1-\delta)$$ para todos $t$ .
La pregunta que me hago ahora es si es razonable asumir que el modelo de Black Scholes se mantiene. No tengo ni idea de cómo se abordaría de otra manera, ¿hay alguna forma de hacerlo de forma más general?
Para la segunda pregunta me imagino que podemos comprar las acciones a $t=0$ y corto $\delta$ unidades de la acción. En el momento $T_0$ podemos utilizar el dividendo para liquidar nuestra posición corta, y así la cartera pagaría exactamente $S(T)$ en el momento $T$ . ¿Tiene sentido?
