La relación entre la volatilidad del activo subyacente, el apalancamiento y la volatilidad del derivado

Question

Si quiero bajar el riesgo de la cartera, lo más trivial es cambiar de una volatilidad más alta a una más baja para obtener un mejor ratio de Sharpe. Ya aparece la volatilidad para las acciones pero no aparece la volatilidad para el tipo de opción "certificado alcista". No espero que sea tan sencillo como el apalancamiento multiplicado por la volatilidad del activo subyacente. Pero teniendo en cuenta la volatilidad del activo subyacente y el apalancamiento, debería ser capaz de encontrar el apalancamiento del derivado ("certificado alcista").

Por ejemplo con 5 veces de apalancamiento alcista hay un certificado https://www.morganstanley.com/ied/etp-server/webapp/svc/document/finalTermsheetVersion?isin=GB00BG5W8D15&version=1

Pero probablemente es una exageración que la volatilidad del derivado sea 5 veces la volatilidad del activo subyacente sólo porque el apalancamiento es 5 veces.

La volatilidad de la acción subyacente aparece hoy en día en diferentes fuentes de información, y esa cifra también es diferente posiblemente porque las diferentes medidas han utilizado diferentes ventanas temporales.

¿Existe alguna fórmula que se pueda utilizar en este caso, suponiendo que me den la volatilidad del activo subyacente y dado el apalancamiento del derivado en esta clase de activos?

Answer 1

La variable clave es, en efecto, la derivada elasticidad $\Omega$ (también conocido como apalancamiento, Lambda). Se define por $$\Omega=\frac{\frac{\partial V}{V}}{\frac{\partial S}{S}}=\frac{\partial V}{\partial S}\frac{S}{V}=\Delta\frac{S}{V}.$$

Aquí, $V$ corresponde al valor de la derivada y $S$ a su subyacente.

Esta cifra mide el grado de riesgo del derivado en comparación con su subyacente. Intuitivamente, le indica en cuánto cambia el precio del derivado en porcentaje si el precio del activo subyacente cambia en un uno por ciento (ceteris paribus).

Es importante destacar que la volatilidad y la beta del mercado (en el sentido del CAPM) son lineales en la elasticidad. Es decir, $\sigma_V=|\Omega|\cdot\sigma_S$ y $\beta_V=\Omega\cdot \beta_S$ . Se necesita el valor absoluto de para para garantizar que la volatilidad sea positiva (las opciones de venta, por ejemplo, tienen una elasticidad negativa). Estas ecuaciones se derivan, por ejemplo, en Cox y Rubinstein (1985).

Por ejemplo, una opción de compra tiene una elasticidad superior a uno (fácil de ver en un mundo de Black Scholes: $C=S\Delta-Ke^{-rT}N(d_2)\leq S\Delta\implies1\leq\frac{S\Delta}{C}=\Omega_C$ ). Por tanto, una opción de compra es más arriesgada que el activo subyacente. En cambio, una opción de venta (que actúa como un seguro) tiene una elasticidad negativa y, por tanto, un riesgo sistemático menor que el de su subyacente.