Discretización de la varianza condicional en el modelo dinámico libre de arbitraje de Nelson Siegel

Question

Para mi tesis estoy tratando de ajustar el modelo dinámico libre de arbitraje de factores correlacionados de Nelson Siegel a los datos de rendimiento. Utilizo el filtro de Kalman para modelar esto pero como el modelo está en tiempo continuo, necesito discretizar la media condicional y la varianza condicional. La media condicional no es difícil pero no consigo discretizar la varianza. La expresión para la varianza condicional es: $$ V[X_t|Y_{t}] = \int_0^{\Delta t} \exp(-K^P s)\Sigma \Sigma' \exp(-[K^P]'s) ds $$ donde $\Delta t = 1 / 252$ y

$$ K^P = \begin{bmatrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{bmatrix} $$ y $$ \Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & 0 \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix} $$

Espero que este sea el lugar para hacer esta pregunta y que me podáis ayudar, ¡gracias de antemano!

Answer 1

En cuanto al comentario que tuvimos, y ya que $\Delta t$ es bastante pequeño, la integración numérica podría ser adecuada para el propósito.

Según este artículo de Wikipedia, hay tres opciones disponibles.

Denotando por $f(s)$ el integrando, es decir:

$$f(s) = \exp \left( -K^P s\right) \Sigma \Sigma' \exp \left( - [K^P]' s\right),$$ la cantidad $V \left[ X_t | Y_t \right]$ puede aproximarse mediante las siguientes reglas (clasificadas en orden ascendente en términos de complejidad y precisión):

• Regla del rectángulo :

$$\int_0^{\Delta t} f(s)ds \approx \Delta t f\left( \frac{\Delta t}{2}\right)$$

• Regla trapezoidal :

$$\int_0^{\Delta t} f(s)ds \approx \Delta t \left( \frac{f(0) + f(\Delta t)}{2}\right)$$

• Regla de descomposición para $n > 1$ :

$$\int_0^{\Delta t} f(s)ds \approx \frac{\Delta t}{n} \left( \frac{f(0)}{2} + \sum_{k=1}^n f\left(k \frac{\Delta t}{n}\right) + \frac{f(\Delta t)}{2}\right)$$