Rentabilidad esperada implícita de las acciones a partir de los precios de las opciones europeas

Question

Podemos calcular el rendimiento esperado de las acciones (bajo la medida $Q$ ) del at-the-money ( $K=S_t$ ) los precios de las opciones como:

$$E\left(\frac{S_T-S_t}{S_t}\right)=\frac{e^{rT}}{S_t}(C_t-P_t)$$

El resultado se basa principalmente en el hecho de que $$(S_T-S_t)^+-(S_t-S_T)^+=S_T-S_t$$ y $C_t=e^{-rT}E((S_T-K)^+)$ .

Estoy buscando una expresión de la rentabilidad de las acciones utilizando opciones con $K\neq S_t$ .

Mi primera aproximación fue equiparar los dos lados y determinar la diferencia:

$$(S_T-K)^+-(K-S_T)^+\stackrel{!}{=} S_T-S_t+\left[(S_T-S_t)^+-(S_t-S_T)^+-((S_T-K)^+-(K-S_T)^+)\right]$$

Tal vez sería posible reorganizar este término para obtener una suma de pagos de opciones más una parte determinista (es decir, un bono).

Por favor, hágame saber si encuentra una solución.

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin {align*} \frac {S_T-S_t}{S_t} &= \frac {S_T-K +K-S_t}{S_t} \\ &= \frac {(S_T-K)^+-(K-S_T)^+ +K-S_t}{S_t}. \end {align*} Entonces, \begin {align*} E \left ( \frac {S_T-S_t}{S_t} \mid \mathcal {F}_t \right ) &= \frac {e^{rT}}{S_t}(C_t-P_t)+ \frac {K-S_t}{S_t}. \end {align*} donde \begin {align*} C_t &= e^{-rT} E \left ((S_T-K)^+ \mid \mathcal {F}_t \right ), \\ P_t &= e^{-rT} E \left ((K-S_T)^+ \mid \mathcal {F}_t \right ). \end {align*}