Estoy leyendo un libro que da tres fórmulas. En todas estas fórmulas:
- $x$ es la cantidad de dinero que se recibirá en el futuro
- $n$ es el número de años
- $r$ es el tipo de interés.
La primera es el valor actual de una suma global : $PV = x / (1 + r) ^n$ . Se explica por sí mismo. Supongamos que quiero $100$ dólares en $20$ años y podría invertir el dinero en un $5\%$ tasa de rendimiento, ¿qué cantidad de dinero tendría que invertir hoy para tener $100$ dólares en $20$ ¿años? $100 / (1.05) ^{20} = 37.69$ . Alternativamente, si tengo $100$ dólares hoy en día y se deprecia a un ritmo de $5\%$ un año para $20$ años, valdría la pena $37.69$ dólares en $20$ años.
La segunda fórmula es la fórmula del valor actual de una perpetuidad : $PV = x / r$ ( $x$ es la cantidad de dinero que se recibirá al final de cada año para siempre. Por lo tanto, obtener $100$ dólares al final de cada año para siempre sería lo mismo que obtener $2000$ dólares hoy en día, suponiendo que puedo invertir eso a la tasa de $5\%$ por año.
La tercera fórmula parece combinar las dos: la fórmula del valor actual de una renta vitalicia : $PV = (x / r) - ((x / (1 + r) ^ n) / r)$ ( $x$ es la cantidad de dinero recibida al final de cada año por $r$ años).
Observe que el lado izquierdo es exactamente la fórmula del valor actual de una perpetuidad. El lado derecho es el valor actual de una suma global dividido por $r$ .
Estoy tratando de entender la tercera fórmula. ¿Cómo podría alguien derivarla? ¿Por qué restamos el valor actual de una suma global del valor actual de una perpetuidad? Entiendo intuitivamente que una renta vitalicia debe tener un valor actual menor que una perpetuidad. Si $r = 20$ Debe haber alguna forma de indicar que los pagos se detienen después de $20$ años. No estoy seguro de cómo se incorpora a esta fórmula.
