Fórmula de Ito a trozos

Question

Normalmente, el lema de Ito se establece para $C^{1,2}(\mathbb{R}^{d+1},\mathbb{R})$ funciones.

Mi pregunta es si el Ito sigue siendo válido si el dominio está restringido. Es decir, si la semimartingala $Z_t$ sólo se tiene en cuenta en $[t_1,t_2]\times B$ donde B es una bola abierta en $\mathbb{R}^d$ y $f$ es $C^{1,2}$ entonces, ¿sigue siendo válida la fórmula de Ito?

Más generalmente, lo que necesito precisamente es saber si $f$ es una pieza $C^{1}$ en el parámetro tiempo y dos veces diferenciable en el parámetro espacio, ¿se mantiene Ito? Si no es así, ¿puede modificarse, y si es así, cómo?

Las referencias son siempre bienvenidas.

Answer 1

Ito para la difusión es local por lo que se mantiene localmente si las condiciones son locales.

Sea B una bola abierta de $\mathbb{R}^d $ Sea I un intervalo de tiempo abierto. Sea f $C^{1,2}(I,B) $ . Sea $A\subset B $ estrictamente en $B $ (se toman márgenes wrt a la frontera). Sea $t_1,t_2\in I $ con $t_1 <t_2$ y $x\in B $

Entonces defina $\tau$ la hora de salida de $A $ a partir de $t_1,x$

Ahora se puede escribir el lema de Ito entre $t_1$ y $\min (\tau ,t_2)$