¿Cómo se traducen los riesgos anuales en riesgos a largo plazo?

Question

Supongamos que el rendimiento anual de una inversión de 1 dólar tiene una desviación estándar s y una media m. ¿Cómo se traduce esto en el riesgo de este activo a lo largo de, digamos, 20 años? Podemos suponer que los rendimientos anuales son independientes (o que siguen un AR(1) o cualquiera que sea el supuesto estándar en finanzas).

La razón por la que pregunto esto es que los ahorros para la jubilación se utilizan en un futuro lejano. Por lo tanto, si el riesgo anual de un activo no se traduce linealmente en el riesgo a 20 años, un plan de ahorro para la jubilación debería maximizar m pero no preocuparse mucho por s. La mayoría de los planes de jubilación, sin embargo, ponen sólo una pequeña fracción en activos muy arriesgados.

Answer 1

La respuesta corta es que la volatilidad anualizada a lo largo de veinte años debería ser más o menos la misma que la volatilidad anualizada a lo largo de cinco años.

Para rendimientos independientes e idénticamente distribuidos, la volatilidad escala proporcionalmente.

Así que para cualquier número de rendimientos mensuales T , fijando el factor de anualización m = 12 anualiza la volatilidad. Debería ser la misma para todas las escalas de tiempo.

Sin embargo, observe la discusión aquí: https://quant.stackexchange.com/a/7496/7178

Escalar la volatilidad [así] sólo es matemáticamente correcto cuando el modelo de precios subyacente se rige por el movimiento browniano geométrico, que implica que los precios se distribuyen normalmente y los rendimientos normalmente distribuidos.

Especialmente el comentario: "Es un hecho bien conocido que la volatilidad se sobreestima cuando se escala en largos períodos de tiempo sin un cambio de modelo para estimar dicha volatilidad "a largo plazo"".

Ahora, una demostración. He modelado 12.000 rendimientos mensuales con media = 3% y desviación estándar = 2, por lo que la volatilidad anualizada debería ser Sqrt(12) * 2 = 6.9282 .

El cálculo de la volatilidad anualizada para secuencias de rendimientos de distinta duración (3, 6, 12, 60 meses, etc.) revela una inexactitud para las secuencias más cortas. La media de la secuencia de cinco años es la que más se aproxima a la cifra teóricamente esperada (6,9282) y, como señala el autor del comentario, "la volatilidad está [ligeramente] sobreestimada cuando se escala en periodos de tiempo largos".

over  20 years: 6.96
over  50 years: 6.97
over 100 years: 6.98

Volatilidad anualizada para diferentes longitudes de secuencias de retorno

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La reinversión de los rendimientos no afecta mucho a la volatilidad. Por ejemplo, comparando algunos datos que tengo a mano, el Dow Jones Industrial Average Capital Returns (CR) versus Net Returns (NR). Las diferencias de rentabilidad están algo suavizadas, 0,1% cada mes, 0,25% cada tres meses. Una reinversión de dividendos más errática aumentaría la volatilidad.