Encontrar el proceso de variación diferencial y cuadrática al cuadrado

Question

Una pregunta basada en el libro de Springer "Stochastic Calculus for Finance II" - He tratado de resolver esto, pero siempre termino en círculos.

Dejemos que $S(t)$ vendrá dada por la fórmula habitual para un proceso de precios de activos con constantes positivas $\alpha$ y $\sigma$ :

$$S(t)=S(0)\exp\left(\sigma W(t)+\left(\alpha-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t\right).$$

(a) Si $X(t)=S(t)^2$ ¿Cómo puedo calcular el diferencial? $dX(t)$ de manera que sea de la forma = $...dW(t)+...dt$ ?

(b) ¿Cómo puedo calcular la variación cuadrática $[X, X](t)$ ? ¿Existe una regla general para pasar de la variación diferencial a la cuadrática?

Answer 1

Como ha señalado Byouness, la respuesta a la pregunta (a) es Lemma de Itô . Usted sabe que $\mathrm{d}S_t=\alpha S_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t$ es decir $(S_t)$ es un movimiento browniano geométrico. Sea $f(x)=x^2$ con $f_x=2x$ y $f_{xx}=2$ . Entonces, $X_t=f(S_t)=S_t^2$ y

\begin {align*} \mathrm {d}X_t &= \left ( \alpha S_t f_x+ \frac {1}{2} \sigma ^2 S_t^2 f_{xx} \right ) \mathrm {d}t+ \sigma S_t f_x \mathrm {d}W_t \\ &= \left (2 \alpha S_t^2 + \frac {1}{2} \sigma ^2 S_t^2 2 \right ) \mathrm {d}t+ \sigma S_t 2S_t \mathrm {d}W_t \\ &= 2 \left ( \alpha + \frac {1}{2} \sigma ^2 \right )X_t \mathrm {d}t+2 \sigma X_t \mathrm {d}W_t, \end {align*} es decir $X_t=S_t^2$ es de nuevo un movimiento browniano geométrico. De hecho, cualquier potencia de un movimiento browniano geométrico $S_t^n$ es de nuevo un movimiento browniano geoemétrico.

En cuanto a la parte (b), recordemos que para cualquier proceso de Itô $\mathrm{d}X_t=\mu(t,X_t)\mathrm{d}t+\sigma(t,X_t)\mathrm{d}W_t$ El variación cuadrática de $X_t$ viene dada por $$[X,X]_t=\int_0^t\sigma(s,X_s)^2\mathrm{d}s,$$ es decir $\mathrm{d}[X,X]_t=\sigma(t,X_t)^2\mathrm{d}t$ . En nuestro caso, $X_t$ es un movimiento browniano geométrico con $\sigma(t,X_t)=2\sigma X_t$ . Así, \begin {align*} [X,X]_t=4 \sigma ^2 \int_0 ^t S_t^4 \mathrm {d}s. \end {align*} Usando el teorema de Fubini, podrías al menos calcular el esperado variación cuadrática de $X_t=S_t^2$ .