Aproximación del conocimiento común con las creencias comunes (Monderer y Samet, 1989)

Question

Estoy tratando de entender el artículo de Monderer y Samet de 1989 sobre el conocimiento común aproximado.

Estoy atascado en la última parte de la prueba del Teorema A de "acuerdo en desacuerdo", donde se establece la cota superior de la posterior. El límite inferior parece claro, pero no puedo entender cómo uno de los términos se escribe como (1-p). A continuación pego una imagen de la parte en la que me he perdido:

La última línea que establece el límite superior de r_i no me queda clara. Cualquier ayuda será muy apreciada. El enlace del artículo es :

https://ie.technion.ac.il/~dov/cpb_monderer_samet.pdf

(El teorema A está en la página 180-181)

Answer 1

Mostrando la desigualdad de la izquierda

Reorganicemos la ecuación, $$ \begin{align*} x &= r_i \frac{\mu\left( B^p_i\left( E \right) \right)}{\mu\left( E \right)} - \frac{\mu\left( X \cap \left[ B^p_i\left( E \right) \setminus E \right] \right)}{\mu\left( E \right)} \\ & \iff \underbrace{x \mu\left( E \right) + \mu\left( X \cap \left[ B^p_i\left( E \right) \setminus E \right] \right)}_{\text{LHS}} = r_i \mu\left( B^p_i\left( E \right) \right). \end{align*} $$ Dado que todos los términos de $\text{LHS}$ son débilmente positivos, podemos omitir $\mu( X \cap [ B^p_i( E ) \setminus E ] )$ de $\text{LHS}$ , dando $$ x \mu\left( E \right) \leq r_i \mu\left( B^p_i\left( E \right) \right). $$ Desde $\mu( E ) \geq p \mu( B^p_i( E ) )$ Esto implica directamente $x p \leq r_i$ .

Mostrando la desigualdad de la derecha

Desde $\mu( E ) \leq \mu( B^p_i( E ) )$ y $x \geq 0$ tenemos $$ \begin{align*} &\frac{1}{\mu\left( E \right)} \left[ r_i \mu\left( B^p_i\left( E \right) \right) - \mu\left( X \cap \left[ B^p_i\left( E \right) \setminus E \right] \right) \right] \\ &\geq \frac{1}{\mu\left( B^p_i\left( E \right) \right)}\left[ r_i \mu\left( B^p_i\left( E \right) \right) - \mu\left( X \cap \left[ B^p_i\left( E \right) \setminus E \right] \right) \right] \\ &= \underbrace{r_i - \frac{\mu\left( X \cap \left[ B^p_i\left( E \right) \setminus E \right] \right)}{\mu\left( B^p_i\left( E \right) \right)}}_{\text{RHS}}. \end{align*} $$ Debe ser que $X \cap [ B^p_i( E ) \setminus E ] \subseteq B^p_i( E ) \setminus E$ Así que $$ \text{RHS} \geq r_i - \frac{\mu\left( B^p_i\left( E \right) \setminus E \right)}{\mu\left( B^p_i\left( E \right) \right)} = r_i - \frac{\mu\left( B^p_i\left( E \right) \right) - \mu\left( E \right)}{\mu\left( B^p_i\left( E \right) \right)} = r_i - \left( 1 - \mu\left( \left. E \right| B^p_i\left( E \right) \right) \right). $$ Por definición (y esto es la desigualdad (9) en el texto) $\mu( E | B^p_i( E ) ) \geq p$ Por lo tanto $$ \text{RHS} \geq r_i - \left( 1 - p \right). $$ Observando que la igualdad original era $x = \text{RHS}$ tenemos $$ x \geq r_i - \left( 1 - p \right) \;\; \iff \;\; r_i \leq x + 1 - p. $$