Desviación estándar según la lista de Volatilidad y Correlación de Rebonato: Replicación Binomial 2.3.4 Ejemplo de trabajo

Question

Estoy leyendo Volatilidad y Correlación (2ª edición) de Rebonato y me parece un gran libro. Estoy teniendo dificultades para tratar de derivar una fórmula que utilizó y que describió como la expresión de la desviación estándar en un ejemplo de replicación binomial simple:

\begin {eqnarray} \sigma_S\sqrt { \Delta t}= \frac { \ln S_2- \ln S_1}{2} \end {eqnarray}

Esta expresión es la ecuación (2.48) de la página 45. Puedes leer esa página y obtener algo de contexto en Google Books: http://goo.gl/uDgYg3

Entiendo que en el ejemplo se utiliza la composición continua, por si eso ayuda. Es un poco confuso porque las ecuaciones que enumeró unas páginas más arriba (pg.43; no disponible en Google Books) utilizan una tasa de rendimiento discreta, no una composición continua. Pero en cualquier caso, esta discrepancia no parece dar ninguna pista sobre cómo se obtiene la desviación estándar.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Ha obtenido

$$ \frac{c_{t+1}}{c_t}=[\beta(\alpha+1-\delta)]^{\frac{1}{\gamma}} \equiv 1+g$$

y

$$\frac{k_{t+1}}{k_t}=1+(1-\delta)-\frac{c_t}{k_t}$$

Al equiparar se puede demostrar que existe una regla única que mantiene una trayectoria de crecimiento equilibrada

$$\frac{k_{t+1}}{k_t}=\frac{c_{t+1}}{c_t} \implies c_t =( 1-\delta-g)k_t$$

(demasiado consumo, por cierto). Esto demuestra que el modelo tiene una única trayectoria de crecimiento equilibrado.

Si quieres seguir argumentando que la economía elegirá efectivamente esta senda, tienes que invocar la condición de transversalidad (que limita las consecuencias que una senda elegida debería tener sobre la acumulación de capital), y quizás la condición de Inada que satisface tu función de utilidad elegida.

Answer 2

Consideremos un modelo de mercado de un período y dos estados. El precio conocido del activo en el momento $t=0$ es $S_0.$ En el momento $\Delta t$ el precio del activo puede ser $S_1$ con probabilidad $\pi_1$ o $S_2$ con probabilidad $\pi_2$ , donde $\pi_1+\pi_2=1$ .

En este ejemplo las probabilidades se fijan como $\pi_1=\pi_2= \frac{1}{2}$ .

Defina los rendimientos logarítmicos durante este período como

$$R_1 = \ln(S_1/S_0), \\R_2 = \ln(S_2/S_0).$$

El rendimiento esperado es

$$E(R)= \pi_1R_1+\pi_2R_2=\frac{1}{2}[\ln(S_1)+\ln(S_2)]-\ln(S_0).$$

Las desviaciones de los rendimientos en torno a la media son

$$R_1-E(R)= [\ln(S_1)-\ln(S_0)]-\{\frac{1}{2}[\ln(S_1)+\ln(S_2)]-\ln(S_0)\}=\frac{1}{2}[\ln(S_1)-\ln(S_2)]$$

y

$$R_2-E(R)= [\ln(S_2)-\ln(S_0)]-\{\frac{1}{2}[\ln(S_1)+\ln(S_2)]-\ln(S_0)\}=\frac{1}{2}[\ln(S_2)-\ln(S_1)]$$

y la varianza del rendimiento es

$$var(R)= E[(R-E(R))^2]=\pi_1(R_1-E(R))^2+\pi_2(R_2-E(R))^2=\frac{1}{2}\frac{[\ln(S_1)-\ln(S_2)]^2}{4}+\frac{1}{2}\frac{[\ln(S_2)-\ln(S_1)]^2}{4}=\frac{[\ln(S_2)-\ln(S_1)]^2}{4}.$$

La volatilidad de un período es la desviación estándar de la rentabilidad y viene dada por

$$\sigma_P=\sqrt{var(R)}= \frac{1}{2}[\ln(S_2)-\ln(S_1)].$$

Si $\sigma$ denota la volatilidad anualizada, entonces

$$\sigma\sqrt{\Delta t}= \sigma_P= \frac{1}{2}[\ln(S_2)-\ln(S_1)].$$