Entiendo que para trazar las sonrisas de correlación y volatilidad, tenemos que trazar la vol normal implícita vs strike y observar una relación en forma de U. ¿En qué se diferencian estas sonrisas? ¿Se puede llamar sonrisa de correlación a una sonrisa de volatilidad trazada para un producto de correlación (spread de CMS, por ejemplo)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Winter Traveler
Puntos
11
No Son dos cosas diferentes pero similares. Para dos activos $X$ y $Y$ :
- La volatilidad implícita es la función (y de forma similar para $Y$ ) $$\widetilde{\sigma}_X:(X_t,K,T,V_t)\rightarrow f^{-1}(X_t,K,T,V_t),$$ que es la inversa de la fórmula Black-Scholes $f$ (o Negro para distribuciones normales) dado un precio al contado $X_t$ ( $Y_t$ para el otro activo), una huelga $K$ , término $T$ y el precio de la opción $V_t$ .
- Del mismo modo, la correlación implícita $$\widetilde{\rho}:(X_t,Y_t,\widetilde{\sigma}_X,\widetilde{\sigma}_Y,K,T,V_t)\rightarrow f^{-1}(X_t,Y_t,\widetilde{\sigma}_X,\widetilde{\sigma}_Y,K,T,V_t)$$ invierte una fórmula de precios Black-Scholes o Black para un producto de spreads y le da el parámetro de correlación correspondiente. Por supuesto, en este caso la correlación implícita también depende de las volatilidades implícitas individuales de $X_t$ y $Y_t$ .
Que haya una sonrisa o no es circunstancial (no sé si la correlación implícita exhibe una forma de sonrisa, y sé que no todas las clases de activos tienen una volatilidad de sonrisa).
A continuación, se puede aplicar un modelo local de volatilidad-correlación para los dos activos $X$ y $Y$ tal que (ignorando los detalles de la deriva): $$\begin{align} dX(t)&=\color{blue}{\sigma_X(t,X_t)}dW_X(t)+\mathcal{\scriptsize O}(dt) \\ dY(t)&=\color{blue}{\sigma_Y(t,Y_t)}dW_Y(t)+\mathcal{\scriptsize O}(dt) \\ d\langle X,Y\rangle(t)&=\color{blue}{\rho(t,X(t),Y(t))}dt \end{align}$$ entonces $\sigma_X$ y $\sigma_Y$ son los volatilidades locales para los activos $X$ y $Y$ mientras que $\rho$ es el correlación local para el par de activos. A continuación, se calibrarán las 3 funciones locales para recuperar las volatilidades y correlaciones implícitas.
