¿Cómo añadir el efecto de la asimetría en la función objetivo de optimización de la cartera?

Question

Tengo la siguiente cartera ajustada al riesgo que optimizo,

donde gamma es la relación riesgo-rendimiento, $r$ son los rendimientos y $C$ es la matriz de covarianza que considera los escenarios, por lo que no se define como $r^\top r$ pero como se muestra en el siguiente documento de Markowitz (página 3, $C = D + GPG'$ ): https://www.jstor.org/stable/2327552?seq=1

$P$ es una diagonal $SxS$ con la probabilidad

$G$ es un $NxS$ matriz cuyas entradas vienen dadas por $

Answer 1

Vamos a derivar un posible enfoque de la teoría de la utilidad.

Nuestro inversor tiene aversión al riesgo y presenta una utilidad CARA utilizando una función de utilidad exponencial con el parámetro de aversión al riesgo $\gamma>0$ (agente adverso al riesgo):

$$u(x)=\frac{1-e^{-\gamma x}}{\gamma}$$

Una expansión en serie de Taylor de 3er orden en torno a $x=0$ produce

\begin {alinear} u(x) \approx & x - \frac {1}{2} \gamma x^2+ \frac {1}{6} \gamma ^2x^3 \end {align}

Por lo tanto, la utilidad esperada (que se quiere maximizar) es \begin {align} E \left [u(x) \right ]& \approx E(x)- \frac {1}{2} \gamma E(x^2)+ \frac {1}{6} \gamma ^2 E(x^3) \\ &= \mu_x - \frac {1}{2} \gamma\left ( \sigma_x ^2+ \mu_x ^2 \right )+ \frac {1}{6} \gamma ^2 \left (skew_x+3 \mu_x\sigma_x ^2+ \mu_x ^3 \right ) \end {align}

En una aplicación de cartera, ahora podemos hacer uso de la notación estándar y de la útil pista de @develarist en los comentarios y maximizar

$$ w^T\mu-\frac{1}{2}\gamma w^T\Sigma w+\frac{1}{6}\gamma^2 w^TM_3(w\otimes w) $$

sujeta a sus restricciones de inversión.

En efecto, este enfoque es (sólo) un punto de partida para incorporar la asimetría en su optimización. En este caso, el compromiso es claramente entre $-.5\gamma$ de la desviación y una "recompensa" de $\frac{1}{6}\gamma^2$ para la asimetría positiva. Ciertamente, se pueden desligar los dos y simplemente introducir dos parámetros de su elección, digamos $a$ y $b$ para penalizar/recompensar la varianza y la asimetría de la cartera.

Answer 2

Sus principales opciones son los ISA y las propiedades. Puedes invertir más de 15.000 libras esterlinas al año en una ISA, lo que significa más de 450.000 libras esterlinas cuando te jubiles, sin tener en cuenta el crecimiento de tus inversiones en la ISA. Pero si estás pagando un alquiler, y te preocupa poder pagarlo cuando te jubiles, la opción más obvia es comprar un piso ahora con una hipoteca a treinta años, de modo que puedas dejar de pagar el alquiler y la hipoteca esté pagada para cuando te jubiles.