Función de utilidad en el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans

Question

Estamos estudiando el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans (RCK) en mi curso de macroeconomía, ya estoy atascado en la sección inicial sobre los supuestos del modelo. En concreto, no entiendo muy bien por qué la función de ulitidad en RCK se llama CRRA, función de aversión al riesgo relativo constante y por qué se da el caso de que el coeficiente de aversión al riesgo relativo es theta = -Cu"(C)/u'(C) y, por tanto, es independiente de C.

Agradecería que alguien pudiera aclarar esto.

Answer 1

Recordemos que en el modelo RCK los hogares eligen su consumo y ahorro para maximizar la utilidad actual y futura (es decir, las generaciones futuras). Entonces, la función objetivo viene dada por

$$ U = \int_{0}^{\infty} u[c(t)]e^{nt}e^{-\rho t}dt$$

El modelo RCK asume la forma funcional de la utilidad

$$ u[c(t)] = \frac{c(t)^{1-\theta}-1}{1 - \theta} $$

Nótese que esta función es creciente y cóncava, y que suponiendo que $\rho > n$ garantiza que la utilidad de por vida no diverja. Se trata de un supuesto muy práctico, ya que garantiza que los hogares no tendrán una utilidad vitalicia infinita y, por tanto, permite una solución bien definida.

Esto se llama función de utilidad de elasticidad intertemporal constante (CIES) o de aversión al riesgo relativo constante (CRRA) (nótese que esta función de utilidad isoelástica es la única clase de funciones de utilidad con aversión al riesgo relativa constante).

Puede comprobarlo calculando el coeficiente de aversión al riesgo, $\frac{1}{\sigma}$ , donde $\sigma$ es la elasticidad intertemporal de sustitución (mide la disposición del consumidor a sustituir el consumo presente por el futuro) y se define como

$$ \sigma = \frac{1}{u''(c)} \frac{u'(c)}{c}$$

De la forma funcional de la utilidad se obtiene

$$ \sigma = \frac{1}{\theta} $$

Y, por tanto, el coeficiente de aversión al riesgo es igual a $\frac{1}{\sigma} = \theta$ que es constante e independiente del consumo.

Nótese que la elasticidad intertemporal de sustitución se deriva analíticamente como la inversa de la aversión al riesgo. Esto se deriva de considerar la fluctuación de la utilidad marginal del consumo a lo largo del tiempo como una forma de riesgo. Por ejemplo, un individuo con aversión al riesgo elegiría suavizar su trayectoria de consumo para evitar dicho riesgo (fluctuaciones).