En la parametrización SVI-JW, tenemos
$$ w(k; a, b, \rho, m, \sigma) = a + b \left [ \rho(k-m) + \sqrt{(k-m)^{2} + \sigma^{2}} \right ] $$
Lo que nos da
$$ \begin{align*} \sigma_{BS}(k) &= \frac{1}{\sqrt{t}}\sqrt{a + b \left [ \rho(k-m) + \sqrt{(k-m)^{2} + \sigma^{2}} \right ]} \\ \\ \\ \frac{\partial \sigma_{BS}}{\partial k} &= \frac{b\left [\rho + \frac{(k - m)}{\sqrt{(k-m)^{2} + v^2}}\right ]}{2\sqrt{t}\sqrt{a + b \left [ \rho(k-m) + \sqrt{(k-m)^{2} + \sigma^{2}} \right ]}} \end{align*} $$
Podemos evaluar la varianza de la ATM $v_{t}$ al establecer $k=0$ en $w(k; a, b, \rho, m, \sigma)$ podemos evaluar la inclinación de la ATM $\psi_{t}$ evaluando $\frac{\partial \sigma_{BS}}{\partial k}|_{k=0}$ y podemos evaluar la varianza mínima implícita $\tilde{v}_{t}$ al establecer $\frac{\partial \sigma_{BS}}{\partial k} = 0$ y el enchufe $k$ en $w(k)$ .
¿Cómo podemos encontrar las pendientes de venta y de compra? $p_{t}$ y $c_{t}$ ? Supuse que sería el límite de la varianza $\frac{w(k)}{t}$ cuando $k \rightarrow \pm \infty$ pero esto me da $\frac{b}{\sqrt{t}}(\rho \pm 1)$ que no coincide con los resultados de Gatheral en su artículo original.
Enlace al documento original Superficies de volatilidad del IVS sin arbitraje por Jim Gatheral, Antoine Jacquier aquí .
