Recordemos que cualquier activo negociado dividido por un numéraire es una martingala bajo la medida asociada a ese numéraire. Para los 3 tipos de interés que mencionas, la medida natural (es decir, la que hace que esos procesos sean martingales) se deduce de la estructura de la tasa .
Tenga siempre en cuenta que el valor en $t_0$ de un flujo de caja $C$ pagado en $T$ es igual a la expectativa condicional del flujo de caja descontado bajo la medida neutral de riesgo $\mathcal{Q}$ : $$C(t_0)=E_{t_0}^\mathcal{Q}\left(\frac{B_{t_0}}{B_T}C(T)\right)$$ donde $B_t$ es la cuenta del mercado monetario: $B_t=e^{rt}$ , es decir, el numéraire bajo la medida de riesgo neutro. Por lo tanto, se observa que: $$D(t_0,T)=\frac{B_{t_0}}{B_T}$$ donde $D(t_0,T)$ es el factor de descuento de $t_0$ a $T$ . La teoría del cambio numérico desarrollada por Geman, El Karoui y Rochet en [1] establece la siguiente equivalencia entre medidas: $$E_{t_0}^\mathcal{Q}\left(\frac{B_{t_0}}{B_T}C(T)\right) =E_{t_0}^\mathcal{N}\left(\xi(t_0,T)\frac{B_{t_0}}{B_T}C(T)\right) =E_{t_0}^\mathcal{N}\left(\frac{N_{t_0}}{N_T}C(T)\right)$$ donde $N_t$ es otro activo que puede utilizarse como numéraire, $\mathcal{N}$ su medida asociada, y $\xi(t_0,T)$ la derivada de Radon-Nikodym asociada para cambiar de una medida a la otra: $$\xi(t_0,T)=\frac{B_TN_{t_0}}{B_{t_0}N_T}$$
Tipo LIBOR a plazo El tipo de interés LIBOR a plazo: probablemente sepa que el tipo de interés LIBOR a plazo es igual a: $$L(t,T,T+\delta)=\frac{1}{\delta}\left(\frac{P(t,T)}{P(t,T+\delta)}-1\right)$$ donde $P(t,T)$ es un bono de cupón cero con vencimiento $T$ . Ahora bien, dicho producto es un activo negociado con un precio estrictamente positivo y sin dividendos, por lo que puede utilizarse como numéraire. Por lo tanto, bajo la $T+\delta$ medir el tipo LIBOR es una martingala: $$\begin{align} E_{t_0}^{T+\delta}\left(L(t,T,T+\delta)\right) &=E_{t_0}^{T+\delta}\left(\frac{1}{\delta}\left(\frac{P(t,T)}{P(t,T+\delta)}-1\right)\right) \\ &=\frac{1}{\delta}\left(E_{t_0}^{T+\delta}\left(\frac{P(t,T)}{P(t,T+\delta)}\right)-1\right) \\ &=\frac{1}{\delta}\left(\frac{P(t_0,T)}{P(t_0,T+\delta)}-1\right) \\[7pt] &=L(t_0,T,T+\delta) \end{align}$$
LIBOR aplazado En este caso, se le paga a $T$ el LIBOR para el periodo $[T,T+\delta]$ . No hay ninguna medida bajo la cual el LIBOR-en-arreos sea una martingala pura. El valor de este flujo es: $$\begin{align} E_{t_0}^\mathcal{Q}\left(\frac{B_{t_0}}{B_T}L(T,T,T+\delta)\right) &=P(t_0,T)E_{t_0}^T\left(L(T,T,T+\delta)\right) \\ &=P(t_0,T+\delta)E_{t_0}^{T+\delta}\left(\frac{L(T,T,T+\delta)}{P(T,T+\delta)}\right) \end{align}$$
Tipo de cambio el valor del tipo de cambio $S(t_0)$ en el momento $t_0$ se obtiene igualando los valores de los dos tramos de un swap a partir de $t_0$ a saber: $$\sum_{i=1}^n\delta_i^SS(t_0)P(t_0,t_i)=\sum_{j=1}^m\delta_j^LL(t_0,t_{i-1},t_i)P(t_0,t_i)$$ Reacomodando: $$S(t_0)=\frac{\sum_{j=1}^m\delta_j^LL(t_0,t_{i-1},t_i)P(t_0,t_i)}{A^S(t_0,t_n)}$$ donde la anualidad del swap $A(t_0,t_n)$ se define como: $$A^S(t_0,t_n)=\sum_{i=1}^n\delta_i^SP(t_0,t_i)$$ La renta vitalicia es una cartera de bonos de cupón cero (activos negociados), por lo que puede utilizarse como numéraire. Por lo tanto, se ve que bajo la medida $\mathcal{A}$ asociado a la anualidad, el tipo del swap será una martingala por un argumento similar al del tipo LIBOR a plazo: $$\begin{align} E_{t_0}^\mathcal{A}\left(S(t)\right) &=E_{t_0}^\mathcal{A}\left(\frac{\sum_{j=1}^m\delta_j^LL(t,t_{i-1},t_i)P(t,t_i)}{A^S(t,t_n)}\right) \\ &=\frac{\sum_{j=1}^m\delta_j^LL(t_0,t_{i-1},t_i)P(t_0,t_i)}{A^S(t_0,t_n)} \\[7pt] &=S(t_0) \end{align}$$
Los casos del LIBOR a plazo y de los tipos swap muestran claramente que la medida de martingala adecuada depende de la estructura del producto considerado.
Obsérvese también que productos como las swaptions se cotizan sobre la base de la volatilidad implícita de Bachelier/Black, es decir, la swaption se cotiza con la volatilidad implícita que corresponde a su precio de mercado. Esta volatilidad implícita se obtiene invirtiendo las fórmulas de Bachelier/Black mediante métodos numéricos. Ahora bien, estas fórmulas suponen que el factor de mercado subyacente (es decir, el tipo del swap) es una martingala bajo la medida de precios, por lo que el término " medida natural ": es la medida que implica la convención de comilla del mercado.
Referencias
1] Geman, H., El Karoui, N., Rochet, J.C. (1995). "Changes of Numéraire, Changes of Probability Measures and Pricing of Options", en Revista de Probabilidad Aplicada , Vol. 32, pg 443-458.
