Voy a realizar un curso de finanzas a tiempo continuo en el próximo semestre. Aunque toda mi formación superior es en economía, no me he encontrado con un entorno de economía financiera de mercados contingentes, es decir, de la representación geométrica del espacio de estados de lo anterior. Tengo conocimientos sólidos sobre inversiones, mercados financieros y productos financieros como los derivados, pero estaba buscando la formulación matemática financiera de los mercados contingentes. Qué libro introductorio sería bueno para una introducción en los escenarios más simples antes de saltar al escenario de Black-Scholes por ejemplo que es el objetivo final de la clase que voy a tomar. El libro de Cochrane "Asset Pricing" es similar a lo que estoy buscando pero me gustaría saber si hay alguna alternativa.
Respuestas
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Para la pregunta I, la identidad \begin {align*} \rho_t = \exp\big (- \lambda_t W_t - \frac {1}{2} \lambda_t ^2t \big ) \end {align*} no parece correcto, a menos que $\lambda_t$ es una constante.
Para la pregunta II, sí. Si $X_t = -\int_0^t \lambda_s dW_s$ entonces $\langle X \rangle_t = \int_0^t \lambda_s^2 ds$ .
Para la pregunta III, hay que tener en cuenta que \begin {align*} \langle X \rangle_t = \int_0 ^t \frac { \partial\langle X \rangle_s }{ \partial s}ds. \end {align*} Entonces $d\langle X, \langle X \rangle \rangle_t = 0$ y $d\langle \langle X \rangle, \langle X \rangle \rangle_t = 0$ .
Podría ser más fácil ir en la dirección contraria: empezar con $$ d\mathcal{E}_t = \mathcal{E}_t dX_t $$ aplicar Ito a la $\log$ función $$ d\log(\mathcal{E})_t = \frac{1}{\mathcal{E}_t}d\mathcal{E}_t - \frac{1}{2} \frac{1}{\mathcal{E}_t^2}d\langle\mathcal{E},\mathcal{E}\rangle_t = \frac{1}{\mathcal{E}_t}\mathcal{E}_tdX_t - \frac{1}{2} \frac{1}{\mathcal{E}_t^2}\mathcal{E}_t^2d\langle X,X\rangle_t $$ En otras palabras $$ d\log(\mathcal{E})_t = dX_t - \frac{1}{2} d\langle X,X\rangle_t $$ $$ \log(\mathcal{E})_T = \log(\mathcal{E}_0) + X_T - \frac{1}{2} \langle X,X\rangle_T $$ $$ \mathcal{E}_T = \mathcal{E}_0\exp(X_T - \frac{1}{2} \langle X,X\rangle_T) $$ En caso de que $X_t = \int_0^t \lambda_s dW_s$ , se obtiene $dX_t = \lambda_t dW_t$ y $\langle X,X\rangle_T =\int_0^T d\langle X,X\rangle_t =\int_0^T \lambda_t^2 d\langle W,W\rangle_t = \int_0^T \lambda_t^2 dt$ .
