Las expectativas en el modelo monetario clásico de Gali

Question

En el capítulo 2 de Gali tenemos la siguiente restricción al modelo monetario clásico

$P_t C_t + Q_t B_t \leq B_{t-1} + W_t N_t-T_t$ .

Entonces parece que esto se trata como una igualdad. Por lo tanto mi pregunta es: ¿estamos asumiendo que $\partial U/\partial B_t >0$ ? Así los hogares lograrían el óptimo en la igualdad.

Otra pregunta es, en general si tengo el problema

$Max E_0 \sum_{t=0}^{\infty}\beta^t U(C_t,N_t)$

¿Debo resolver el OP

$Max \sum_{t=0}^{\infty}\beta^t U(C_t,N_t)$

Y luego llevar la expectativa a las relaciones que obtengo al optimizar? Por ejemplo si añadimos la restricción

$P_t C_t + Q_t B_t \leq B_{t-1} + W_t N_t-T_t$ a los OPs, en el problema sin expectativa obtengo $Q_t=\beta \frac{\partial U/\partial C_{t+1}}{\partial U/\partial C_{t}} \frac{P_t}{P_{t+1}}$ y tomando $E_t$ Obtengo la ecuación de Euler. ¿Es correcto el procedimiento de resolver el problema sin expectativa y luego tomar la expectativa?

EDITAR: Si es incorrecto olvidar la expectativa y optimizar, entonces estoy confundido al respecto: Cómo relacionar la tasa real de rendimiento del capital con el tipo de interés de los bonos: Lagrangiano . Como allí el procedimiento para resolver el problema parece olvidar la expectativa.

Segundo, si lo hago $\frac{\partial }{\partial C_t}E[U]=E\left[\frac{\partial U}{\partial C_t}\right]$ . Obtengo $Q_t=\beta\frac{ E_0\left[\partial U/\partial C_{t+1} \right]}{E_0\left[\partial U/\partial C_{t} \right]}\frac{P_t}{P_{t+1}}$ porque no puedo deshacerme de $E_0$ . Sin embargo, esto equivaldría a $Q_t=\beta E_0 \left[\frac{\partial U/\partial C_{t+1} }{\partial U/\partial C_{t} }\right]\frac{P_t}{P_{t+1}}$ si $E_0 \left[ \frac{\partial U/\partial C_{t+1} }{\partial U/\partial C_{t} }\right]=\frac{ E_0\left[\partial U/\partial C_{t+1} \right]}{E_0\left[\partial U/\partial C_{t} \right]}$ . ¿Esto se debe a que $C_t$ es independiente de $C_{t+1}$ ?.

En tercer lugar, me di cuenta de que si resuelvo $Max \sum_{t=0}^{\infty}\beta^t E_tU(C_t,N_t)$ s.t la restricción como antes y proceder con $\frac{\partial }{\partial C_t}E[U]=E\left[\frac{\partial U}{\partial C_t}\right]$ Obtengo la ecuación de Euler correcta. ¿Es este el problema correcto para optimizar? pero ¿qué pasa con la propuesta de Gali?

Answer 1

En cuanto a su primera pregunta, no nos limitamos a suponer $\partial U/\partial B > 0$ . Simplemente asumimos la monotonicidad de las preferencias, que para el modelo que nos ocupa es una condición plausible. En términos sencillos, esto significa que "más es mejor". Por lo tanto, el consumidor siempre elegirá gastar todo su presupuesto para el consumo actual o futuro, dado por $C$ y $B$ respectivamente. Por lo tanto, la restricción se mantiene con igualdad. En este tipo de modelos se asume casi siempre la igualdad de la restricción presupuestaria.

En cuanto a tu segunda pregunta, resolver sin expectativas y luego tomar la expectativa es estrictamente incorrecto. Sin embargo, en este caso te dará el resultado correcto. Lo que puedes hacer aquí es tomar la derivada en la expectativa. Para estos modelos eso suele funcionar en el entorno no estocástico como aquí. Si tienes, por ejemplo, ingresos estocásticos con distribuciones logarítmicas normales, tendrás que tener más cuidado. Lo que puedes hacer entonces, dependiendo del caso, es resolver la expectativa antes de tomar la derivada o utilizar la Regla de Leibniz.

Por lo tanto, para su problema no se olvida la expectativa en primer lugar, que corresponde a $\partial U / \partial C_{t+1}$ . En cambio, para su modelo puede tomar $\partial E_0[U] / \partial C_{t+1} = E_0[\partial U / \partial C_{t+1}]$ . Como puede ver, dará el mismo resultado que si simplemente se toma la expectativa más adelante $\partial U / \partial C_{t+1}$ . Sin embargo, esa es la forma incorrecta y probablemente perderás puntos en un examen si lo escribes así.