Convertir el tipo a corto plazo de la simulación HW en tipos Swap

Question

Estoy intentando fijar el precio de una opción exótica que me exige simular tipos swap a 10 años. He calibrado un modelo HW de 1 factor para los precios de los swaptions. Sin embargo, tengo entendido que el modelo HW describe la evolución de los tipos a corto plazo. ¿Existe alguna manera o dónde puedo leer para obtener más información sobre cómo convertir mis tipos cortos simulados en cada trayectoria de Monte Carlo en el tipo swap?

Muchas gracias de antemano por cualquier consejo.

Answer 1

El modelo de tipos cortos de Hull-White (o cualquier otro modelo de tipos cortos) describe la dinámica de los tipos cortos $dr(t)$ así como proporcionar la solución analítica del bono cupón cero $P(t, T)$ :

$$ P(t, T) = E_t^Q \left[ \exp \left( - \int_t^T r(s) ds \right) \right] = \exp(A(t, T) - B(t, T) \cdot r(t)) $$

Dependiendo de la notación que esté utilizando, los bonos cupón cero pueden diferir de la expresión anterior, sin embargo, lo siguiente sigue siendo válido. Una vez encontrada la solución para $A(t, T)$ y $B(t, T)$ mediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (Sistema Riccati de EDOs), se puede calcular, para cada trayectoria de simulación, el bono cupón cero en cualquier $(t, T)$ .

Consideremos un swap vainilla descrito por la estructura de tenor $T$ tal que $0 \leq T_1 < T_2 < \dots < T_N$ su tipo swap viene dado por:

$$ S(t) = \frac{P(t, T_1) - P(t, T_N)}{\sum_{n=1}^{N} \tau_n \cdot P(t, T_{n+1})} \quad \text{with } t < T_1, $$

entonces se puede calcular, para cada camino, su tasa de intercambio.