¿El precio de las acciones es una martingala si el tipo de interés sin riesgo es cero?

Question

Me encontré con una pregunta como tal:

Supongamos que la empresa IBC cotiza a \$75 per share. What does it cost to construct a derivative security that pays exactly one dollar when IBC hits $ ¿100 por primera vez? Ignora los dividendos, asume un tipo de interés sin riesgo de cero, asume que todos los activos son infinitamente divisibles, ignora cualquier restricción de venta en corto.

Existe una solución utilizando el argumento del no arbitraje. Pero mi intuición es utilizar la martingala. Dado que el tipo de interés es cero, si la acción sigue un movimiento browniano geométrico, entonces el término de deriva se convierte en cero, por lo que el precio de la acción se convierte en una martingala. Si utilizamos la propiedad de la martingala $E[S_{0}] = E[S_{T}]$ y suponiendo que el límite superior del precio de las acciones es 100, el límite inferior es 0, entonces podemos calcular la probabilidad $\alpha$ de golpear \$100 at time T $$ E[S_{T}] = \alpha\times\$100 + (1-\alpha)\times\$ 0 = E[S_{0}] = 75 $$ we get $\alpha = 0.75 $, so the expected pay off of the derivative is $$ \$0.75=0.75\times\$ 1 + (1-0.75) \times\$0$$ Por lo tanto, el precio del derivado debería ser de 0,75 dólares. No tengo mucha experiencia en la teoría de la probabilidad o de la martingala, ¿es este un argumento válido para resolver este problema?

Answer 1

Su derivación es incorrecta porque la opción no tiene un vencimiento fijo $T$ . En cambio, termina cuando la acción llega a 100. Matemáticamente esto significa que tenemos un tiempo de parada que es una variable aleatoria $\tau(\omega) = \inf \{t \ge 0 | S_t(\omega) = 100\}$ .

Se suele suponer que el precio de las acciones llega finalmente a 100, es decir, que $\tau$ es casi seguramente finito.

Bajo este supuesto, este caso $S_\tau$ está bien definido y es siempre igual a $1$ . Tenga en cuenta que $E[S_\tau] \neq E[S_0]$ aunque $S$ es una martingala. Esto se debe a que el tiempo de parada $\tau$ no está acotado, por lo que no se aplica el teorema de parada opcional.

La solución al ejercicio es pensar en términos de cobertura delta. ¿Qué cantidad de acciones necesita tener para cubrir su riesgo? En el momento $\tau$ La acción tiene un valor de $S_\tau = \$ 100 $. So you can replicate your payoff by buying $ 1\% $ of the stock at time 0 and holding it until it reaches $\$100$ para pagar el $\$ 1 $. So the price of the derivative is $ S_0/S_{ \tau } = \$0.75$ .