Black-Scholes y la demanda contingente markoviana

Question

Información de fondo:

Proposición 4.1 - Para un crédito contingente europeo markoviano, el precio Black-Scholes satisface $$\Theta(\tau,S) = -\frac{\sigma^2 S^2}{2}\Gamma(\tau,S) - rS\Delta(\tau,S) + rV(\tau,S)$$

Problema - Utilice la Proposición 4.1, para demostrar la igualdad anterior. Es decir, dejemos que $\tilde{S}_t = e^{-rt}S_t$ y $\tilde{V}(t,\tilde{S}_t) = e^{-rt}V(t,S_t)$ son, respectivamente, el precio subyacente descontado y el precio de la opción descontado. Entonces, podemos demostrar que $$\partial_t\tilde{V}(t,\tilde{S}) = -\frac{\sigma^2\tilde{S}^2}{2}\partial_{\tilde{S}\tilde{S}}V(t,\tilde{S})$$

Estoy confundido por dónde empezar, creo que puedo arreglármelas mostrando esto si tengo una fórmula o simplemente una configuración para trabajar, cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

Asumimos la siguiente ecuación de Black-Scholes: \begin {align} \frac { \partial V}{ \partial t} = - \frac { \sigma ^2 S_t^2}{2} \frac { \partial ^2 V}{ \partial S_t^2} -r S_t \frac { \partial V}{ \partial S_t} +r V. \tag {1} \end {align} De la suposición, \begin {align} V(t,\N, S_t) = e^{rt} \tilde {V}(t,\N-) \tilde {S}_t). \tag {2} \end {align} Entonces \begin {align*} \frac { \partial V}{ \partial t} &= re^{rt} \tilde {V}+e^{rt} \frac { \partial \tilde {V}}{ \partial t} + e^{rt} \frac { \partial \tilde {V}}{ \partial \tilde {S}_t} \frac { \partial \tilde {S}_t}{ \partial t} \\ &= re^{rt} \tilde {V}+e^{rt} \frac { \partial \tilde {V}}{ \partial t} -rS_t \frac { \partial \tilde {V}}{ \partial \tilde {S}_t}, \tag {3} \\ \frac { \partial V}{ \partial S_t} &= e^{rt} \frac { \partial \tilde {V}}{ \partial S_t} \\ &=e^{rt} \frac { \partial \tilde {V}}{ \partial \tilde {S}_t} \frac { \partial \tilde {S}_t}{ \partial S_t} \\ &= \frac { \partial \tilde {V}}{ \partial \tilde {S}_t}, \tag {4} \\ \frac { \partial ^2 V}{ \partial S_t^2} &= \frac { \partial ^2 \tilde {V}}{ \partial \tilde {S}_t^2} \frac { \partial \tilde {S}_t}{ \partial S_t} \\ &=e^{-rt} \frac { \partial ^2 \tilde {V}}{ \partial \tilde {S}_t^2}. \tag {5} \end {align*} Ahora, al unir (2)-(5) a (1), obtenemos que \begin {align*} \frac { \partial \tilde {V}}{ \partial t} = - \frac { \sigma ^2 \tilde {S}_t^2}{2} \frac { \partial ^2 \tilde {V}}{ \partial \tilde {S}_t^2}. \end {align*}

Answer 2

Usted hace una excelente pregunta, ya que ha sido discutida en parte pero no completamente en la literatura científica.

Su propuesta exacta (ponderar a los representantes por la cantidad de votos que obtuvieron en la elección) ha sido discutida en un artículo del blog (en francés) de Jean-François Laslier ver aquí .

En la práctica, los representantes suelen ser elegidos sobre una base geográfica, y su peso viene determinado por la zona local que representan (normalmente: su población). Existe toda una literatura sobre este tema. Balinski y Young [BY] se centran en cómo diseñar pesos de votación (enteros) que sean lo más parecidos posible a los proporcionales a las poblaciones. Una literatura consecuente ha cuestionado la conveniencia de la idea de proporcionalidad, un trabajo representativo en este ámbito es el de Barbera y Jackson [BJ].

Además, su propuesta parece ser una característica (entre otras) del sistema de democracia líquida que defienden los activistas de la democracia. En ese sistema, cada uno puede delegar o votar en cada decisión, y el peso de los delegados es igual al número de delegaciones recibidas. El sistema ha sido experimentado por el Partido Pirata alemán. Se ha estudiado recientemente en informática. Uno de los problemas es que algunos miembros influyentes pueden obtener demasiados votos [GKMP].

[POR]: Balinski y Young. Representación justa. 1982

[BJ]: Barbera y Jackson. Sobre los pesos de las naciones: Asignación de votos en una Unión Heterogénea. 2006

[GKMP]: Gölz, P., Kahng, A., Mackenzie, S., & Procaccia, A. D.. La mecánica de fluidos de la democracia líquida. 2018