Investigar cómo cambia el precio racional de la opción de compra europea

Question

Dejemos que S (0) = 100 sea el precio inicial del activo de riesgo. Consideremos una opción de compra europea con precio de ejercicio K y tiempo de vencimiento T \= 1 (año). Considere varios modelos binomiales e investigue cómo depende el precio racional de la opción ( es decir, C(0) ) de la elección de los parámetros del modelo y del precio de ejercicio K .

Estoy intentando responder a esta pregunta pero no sé cómo empezar. Estoy tratando de hacerlo en un modelo binomial de 1 paso, 2 pasos y 3 pasos y tal vez ver si hay un patrón, pero no estoy seguro de cómo empezar para el 1 paso que probablemente tener un precio de ejercicio K \= 100. También creo que el modelo de 2 pasos dará un paso en 1/2 año y el de 3 pasos en 1/3 de año, etc.

Lo que quiero decir es: cuando tengo que asignar los parámetros aleatorios U,D y R, ¿elijo los números que quiera o hay un intervalo determinado al que debo ceñirme? Por ejemplo, ¿puedo decir que para 1 paso U=1,1 y D=0,9 y luego para 2 pasos algo como U=1,2 y D=0,8? ¿Funciona eso para la pregunta o no lo estoy entendiendo?

Answer 1

Con un árbol binomial (recombinante), el precio terminal del activo tiene un binomio distribución . Dado el tamaño del movimiento de subida y bajada $u$ y $d = 1/u$ respectivamente, el precio final después de $n$ pasos y $k$ los movimientos hacia arriba es $S_{n,k} =S_0u^kd^{n-k}= S_0u^{2k-n}$ y la probabilidad de alcanzar este precio es
$$P_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}q^k(1-q)^{n-k},$$

donde $q = \frac{r-d}{u-d}$ y $r$ es el tipo de interés por período asociado a un solo paso.

El precio de la opción de compra es la expectativa neutra de riesgo descontada de la ganancia,

$$C = \frac{1}{(1+r)^n}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}q^k(1-q)^{n-k} \max(S_{n,k}-K,0),$$

Esto convergerá con el precio de la opción Black-Scholes. Utilícelo como referencia para evaluar la precisión. Creo que la tasa de convergencia es $\mathcal{O}(1/n)$ como $n \to \infty$ . En otras palabras, duplicar $n$ debería reducir el error a la mitad.

Puedes descubrirlo mediante experimentos numéricos utilizando la fórmula de precios dada (no tienes que trabajar laboriosamente hacia atrás en el árbol). El tamaño del paso de tiempo es $\Delta t= \frac{T}{n}$ y el tamaño del movimiento alcista está relacionado con la volatilidad a través de $u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$ . Así que usted podría sostener $T$ , $K$ , $\sigma$ y $r$ fijo y observar el comportamiento del precio de la opción como $n$ es variado.

También se puede demostrar analíticamente, aunque es muy difícil.