Regla de Hotelling y los precios sombra en un anclaje

Question

La regla de Hotelling establece que en equilibrio

$$\frac{\dot p(t)}{p(t)} = i$$

Lo que significa que la tasa de cambio del precio en el momento $t$ debe ser igual a $i$, la tasa de interés. Supongamos que el gobierno fija el precio en el nivel $P^{*}$. Supongamos además que el precio sombra en el momento $t$ está dado por: $Q_t =( \sigma i S_t)^\frac{-1}{\sigma}$

Demuestra que si $\dot q(t)= i$ entonces $Q_t = P^{*}$

Mis preguntas:

(1) ¿Qué exactamente es $\dot q(t)$ o $\dot p(t)$? ¿Es la derivada? No pude entenderlo.

(2) ¿Se da la condición de Hotelling en logaritmos?

(3) ¿Y qué método seguir después de entender (1)-(2)?

EDIT:

Sí, esta es una pregunta de tarea. Sin embargo, nunca te pedí que resolvieras la pregunta. Pregunté qué tipo de método se usaría en este caso. Ya que el problema no tiene sentido.

$$q(t) = log (Q_t) = \frac{-1}{\sigma} log(\sigma i S_t) \\ \frac{dq(t)}{dt}=\dot q(t) = \frac{- \sigma i S_t}{\sigma^2 i} = \frac{- S_t}{\sigma }$$

Entonces, la condición sobre $q(t)$ implica que $S_t = - \sigma i$. Lo cual creo que hay un problema ya que $S_t <0$. De todas formas:

Dado que $S_t <0$ en este momento específico $t$, todos los recursos se han agotado.

Si terminara encontrando que $S_t = 0$, entonces concluiría que en este momento $t$ todos los especuladores compraron el recurso y dado que el recurso se vendió al precio $P^*$ de alguna manera esto implicaría que $Q_t = P^*$

Pero el resultado que obtenemos es que $S_t <0$. Lo que simplemente dice que todos los bienes fueron comprados más el gobierno compró algunos bienes. Creo que eso implica un precio $q(t)>P^*$

Answer 1

Respuesta parcial

Puedo darte una respuesta para las partes (1) y (2). En cuanto a (3), no puedo darte una respuesta a menos que muestres algo de trabajo según nuestra política del sitio sobre preguntas de tarea.

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(1) Estas variables se interpretan como el cambio en $q$ o $p$ con respecto al tiempo. Matemáticamente, esto es la derivada, dándonos los resultados: $$\dot q(t)=\frac{dq(t)}{dt}$$ y $$\dot p(t)=\frac{dp(t)}{dt}$$

(2) La regla de Hotelling no se da en logaritmos, como se explica en la notación para (1). Si fuera así, se indicaría con la notación de $\hat p(t)$. Escrito de manera concisa como:

$$\hat p(t)=\ln(p(t))$$