Elasticidad Función de producción Cobb-Douglas

Question

Me dan la función de producción

$y=x_1^\alpha x_2^{1-\alpha}$ , donde $0< \alpha <1$ Encontré que las funciones de demanda para el coste de producción mínimo son

$ x_1^{*}(w_1,w_2,y)=\left ( \frac{w_2}{w_1}\frac{\alpha}{\beta} \right )^{\frac{\beta}{\alpha +\beta}}y^\frac{1}{{\alpha +\beta}} \; \wedge \; x_2^{*}(w_1,w_2,y)=\left ( \frac{w_1}{w_2}\frac{\beta}{\alpha} \right )^{\frac{\alpha}{\alpha +\beta}}y^\frac{1}{{\alpha +\beta}}$

Problema

Ahora, tengo que encontrar la elasticidad de $(x_2^*/x_1^*)$ wrt. $w_2/w_1$ . Encontré que $(x_2^*/x_1^*)=\frac{\beta w_1}{\alpha w_2}$ y por lo tanto

$\epsilon = \frac{\partial \frac{\beta w_1}{\alpha w_2}}{\partial (w_2/w_1)} \cdot \frac{w_2/w_1}{\frac{\beta w_1}{\alpha w_2}}$

1. Aquí me quedo atascado y no sé cómo reducir/evaluar esta expresión
2. ¿Qué significa la elasticidad para el coste total de producción del insumo 1?

Answer 1

Para el cálculo de la elasticidad, ¿por qué no pruebas esto?

\begin {align} \frac {x_2^*}{x_1^*}&= \frac { \beta w_1}{ \alpha w_2} \\ \ln\bigg ( \frac {x_2^*}{x_1^*} \bigg ) &= c - \ln\bigg ( \frac {w_2}{w_1} \bigg ) \tag { $c=\ln(\beta/\alpha)$ } \end {align}

Es fácil ver desde arriba que la elasticidad es $-1$

Para la segunda parte, el coste de producción:

\begin {align} C&=w_1x_1^* + w_2x_2^* \\ &=w_1x_1^*(1+ \beta / \alpha ) \\ &= \frac {w_1x_1^*}{ \alpha } \tag { $\beta=1-\alpha$ } \end {align}

Por tanto, el coste de producción por unidad de insumo 1 es simplemente la función de $w_1$ (dado $\alpha$ ).

EDIT: Como se pidió para aclarar en los comentarios: Obsérvese que la elasticidad de $y$ en relación con $x$ se define como:

\begin {align} \epsilon &= \frac { \partial y/y}{ \partial x/x} \\ &= \frac { \partial \ln y}{ \partial \ln x} \end {align}

Así que la elasticidad es simplemente la pendiente en la escala logarítmica para $y$ y $x$ .

Ahora sustituye $y=x_2^*/x_1^*$ y $x=w_2/w_1$ en su caso.