probabilidad de que el precio de la acción está por debajo del precio de huelga

Question

¿Cómo puedo demostrarlo bajo la probabilidad de neutralidad del riesgo:

$\mathbb{P}[S_{t}<k>Dónde

$S_{t}$ es el precio de la acción, K es el precio de huelga, C es el precio de opción de llamada

¡Gracias!

</k>

Answer 1

Su publicación tiene un error, es decir, la identidad debe ser \begin{align} -P(0, T) \mathbb{P}(S_T > K) = \frac{\partial C}{\partial K}. \end{align} La derivación a continuación se basa en esta suposición. Denotamos por $f(x)$ la función de densidad para $S_T$. Entonces \begin{align} \mathbb{P}(S_T > K) = \int_K^{\infty} f(x) dx, \end{align} Y \begin{align} C(K, T) &= P(0, T) \mathbb{E}\big((S_T-K)^+ \big)\ &=P(0, T) \int_K^{\infty}(x-K) f(x) dx\ &= P(0, T)\bigg[\int_K^{\infty} x f(x) dx - K \int_K^{\infty}f(x) dx \bigg]. \end{align} Entonces \begin{align} \frac{\partial C}{\partial K} = -P(0, T)\int_K^{\infty} f(x) dx. \end{align} Es decir \begin{align} -P(0, T) \mathbb{P}(S_T > K) = \frac{\partial C}{\partial K}. \end{align}

Además, podemos obtener que \begin{align} P(0, T) f(K) = \frac{\partial^2 C}{\partial K^2}. \end{align}