En repetidas ocasiones me he encontrado con la afirmación de que "un proceso con una deriva no puede ser una martingala". ¿Es esto cierto también para las derivas estocásticas?
Supongamos que tengo un proceso con una deriva estocástica:
$$X_t=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(f_1(W_h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(f_2(W_h)\right)dW_h$$
Arriba, $f_1$ y $f_2$ son algunas funciones de $W_t$ .
¿Y si el valor esperado de la deriva estocástica es cero? es decir:
$$\mathbb{E}[X_t]=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(\mathbb{E}\left[f_1(W_h)\right]\right)dh+0=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}0dh+0=X_0$$
Sé que lo anterior no es una suficiente condición para $X_t$ ser una martingala, pero mi intuición me dice que al menos debería asegurar que $X_t$ "tiene una oportunidad" de ser una martingala, ¿verdad?
Editar El ejemplo siguiente sirve de "contraejemplo" (la deriva tiene una expectativa nula, pero el proceso no es una martingala) (gracias a @AntoineConze). Así que me pregunto si es posible, después de todo, tener un proceso con una deriva estocástica que sea una martingala.
Ejemplo 1:
Dejemos que $X_t$ definirse como:
$$X_t=X_0+\int_{h=0}^{h=t}W_hdh + \int_{h=0}^{h=t}1dW_h$$
NTS: $\forall 0\leq s < t$ : $\mathbb{E}\left[X_t | \mathcal{F}_s \right]=X_s$
Ahora:
$$\mathbb{E}\left[X_0+\int_{h=0}^{h=t}W_hdh + \int_{h=0}^{h=t}1dW_h|\mathcal{F}_s \right]=\\=X_0+\mathbb{E}\left[\int_{h=0}^{h=s}W_hdh + \int_{h=s}^{h=t}W_hdh +W_s +W(t-s)|\mathcal{F}_s \right]=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=s}W_hdh + \int_{h=0}^{h=s}1dW_h+\int_{h=s}^{h=t}\mathbb{E}[W_h|\mathcal{F}_s]dh + \mathbb{E}[W(t-s)]_{=0}=\\=X_s+\int_s^tW_sdh\neq X_s$$
