¿Estoy utilizando el método correcto para este problema de interés compuesto / simple con depósitos anuales?

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio:

A principios del año 2013 se abre una cuenta bancaria mediante un depósito único de 1.000 libras. Al principio de cada año se hace un nuevo depósito de 200 libras. El tipo de interés es del 3,5% y los intereses se pagan al final de cada año. Halla el importe total de la cuenta al final del año 2023, justo después de que se paguen los intereses.

Lo que no entiendo es si el interés es simple o compuesto. Mi planteamiento que estaba haciendo en un principio es a través de la capitalización, es decir

Al final del año 1 tenemos 1000 libras (1+0,035) = 1035 libras

Al principio del segundo año tenemos 1035 libras + 200 libras = 1235 libras (debido al depósito de 200 libras)

Al final del año 2 tenemos entonces 1235 libras (1+0,035) = 1278,225 libras

Al principio del tercer año tenemos 1278,225 libras + 200 libras = 1478,225 libras (otro depósito de 200 libras)

Al final del tercer año tenemos 1478,225 libras (1+0,035) = 1529,96 libras

Y así sucesivamente. Y entonces, obviamente, se puede derivar la fórmula para un año arbitrario n. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Una expresión de recurrencia para el equilibrio b en el año n

b[n + 1] = (b[n] + d) (1 + r)

where b[0] = a - d

resuelve

b[n] = (((r + 1)^n) (a r + d) - d (r + 1))/r

So with  a =  1000
         d =   200
         r = 0.035

  e.g.  b[3] = 1529.96

Esto funciona para todos los n excepto la condición inicial b[0]

Derivación mediante Wolfram Alpha con entradas en formato Mathematica.

Otra posibilidad es reunir la solución por partes.

Primero los depósitos recurrentes, por inducción

d = 200
r = 0.035
n = 3

∴ s = (d (r + 1) ((r + 1)^n - 1))/r = 642.99

Y añadiendo el depósito inicial

a = 1000;
b = (a - d) (1 + r)^n + s = 1529.96

En general

b(n) = (a - d) (1 + r)^n   +   (d (r + 1) ((r + 1)^n - 1))/r

Sin embargo, esto sigue teniendo el problema de la condición inicial donde n = 0 .

Así que

 b[n] = (((r + 1)^n) (a r + d) - d (r + 1))/r    where   n > 0

 b[0] = a