Cómo resolvemos la ecuación de Bellman en el modelo de Merton

Question

Al estudiar el problema de maximización de la utilidad esperada en el modelo de Merton, estoy teniendo algunas dificultades.
Dejemos que $t$ ser una hora de inicio, $T$ el Tiempo finito final.
Lo definimos, \begin {Edición} V(t,x)= \underset { \pi \in A}{ \sup }\{ \mathbb {E} \left [U(X_T( \pi )) \right ] |X_t=x\} \end {ecuación} Donde $A$ es el conjunto de estrategias comerciales admisibles. Podemos demostrar que $V$ satisface ( Ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman en el modelo de Merton ) \begin {Ecuación} \frac {dV(t,x)}{dt} + \sup_ { \pi_t } \left ( \frac {dV(t,x)}{dx} x (r+ \pi_t ( \mu -r)) + \frac {1}{2} \frac {d^2V(t,x)}{dx^2} x^2 \pi_t ^2 \sigma ^2 \right ) = 0 \end {Ecuación}

En la literatura (ver abajo la referencia), se dice que $\textit{"a candidate for the optimal control is obtained from the first-order condition}$ $\textit{for the maximum in the HJB equation is :"}$ \begin {Ecuación} \hat { \pi }(t,x)=- \frac { \mu -r}{ \sigma ^2} \frac { \frac {dV}{dx}}{x \frac {d^2V}{dx^2}}(t,x) \end {Ecuación}

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En este punto, tengo dos preguntas:
1/ ¿Cómo podemos obtener / demostrar este resultado?
2/ No entiendo por qué $V$ está realmente presente en $\hat{\pi}$ Por definición, ¿no es V un sup sobre todos los posibles $\pi$ ? ¿No debería $\hat{\pi}$ dependen de todo lo que no sea $V$ ?
Gracias, chicos.

Huyen Pham. Métodos de optimización en la gestión de carteras y opciones cobertura de opciones

Answer 1

Se me ocurren varias razones:

• Si las empresas no pudieran amortizar los gastos, sólo podrían existir aquellas empresas cuyos márgenes de beneficio fueran superiores al tipo impositivo. Los márgenes de beneficio varían enormemente entre los distintos sectores, y muchos sectores grandes y muy importantes (como la venta de comestibles) tienen márgenes de beneficio comparativamente bajos. Estos tendrían que desaparecer o subir los precios masivamente si no pudieran deducir los gastos.
• Se estarían duplicando, triplicando y quintuplicando los impuestos a las industrias con largas cadenas de suministro y recompensando efectivamente el máximo integración vertical La política de la Unión Europea, que favorece a las grandes empresas multinacionales en detrimento de las pequeñas empresas especializadas, es una de las más importantes del mundo. No me parece necesario ni deseable. Esta es probablemente la razón principal.
• Las personas y las empresas tienen objetivos fundamentalmente diferentes: las empresas quieren obtener beneficios, los gastos son un medio para conseguir un fin. El hecho de que los gastos sean deducibles no es un incentivo para maximizar los gastos porque los propietarios de las empresas quieren obtener beneficios (y los beneficios son, por tanto, lo que se grava). Las personas, en cambio, quieren disfrutar de su vida y, por lo general, no tienen dificultad en aumentar sus gastos para alcanzar su objetivo. Maximizar los gastos es nuestra naturaleza y no necesita más incentivos (en realidad, todo lo contrario).