Estoy confundido con las matemáticas de la cartera delta-neutral.
Supongamos que tenemos una posición corta en una opción de compra europea con precio $p(t,S_t)$ y quiere cubrirlo con la acción con precio $S_t$ . El valor de la cartera es $X(t,S_t)=-p(t,S_t)+\Delta\times S_t$ . Para que la cartera sea neutra en cuanto a la delta, necesitamos que la cartera sea insensible a los cambios en $S_t$ Por lo tanto, tenemos $\frac{\partial X}{\partial S}=-\frac{\partial p}{\partial S}+\Delta=0$ ( suponiendo que $\Delta$ no depende de $S$ ). Pero de alguna manera a partir de aquí todos los libros de texto dan $\Delta=\frac{\partial p}{\partial S}$ que, en general, viola la suposición de que $\Delta$ no depende de $S$ .
Para verlo con más claridad, la cartera $Y(t,S_t)=-p(t,S_t)+\underbrace{\frac{\partial p}{\partial S}}_{=\Delta}\times S_t$ no es delta neutro porque $\frac{\partial Y}{\partial S}=-\frac{\partial p}{\partial S}+\frac{\partial^2 p}{\partial S^2}S+\frac{\partial p}{\partial S}\neq 0$ (a menos que sea gamma neutral). ¿Cuál es el error? ¿Qué me falta en la derivación?
Actualización: He podido demostrar que si se aplica el lema de Ito a la cartera $Y$ entonces $dY_t = -\left(\frac{\partial p}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 p}{\partial S^2}\sigma^2 S_t^2 \right)dt$ que es independiente de $dS_t$ . Pero ahora mi pregunta es: ¿de dónde viene la idea de la cobertura gamma? De nuevo, una forma rigurosa de obtener el hecho de que la gamma es necesaria.
