¿Cómo se explica la sonrisa de la volatilidad en el marco de Black-Scholes?

Question

¿Alguien tiene una explicación para la sonrisa de volatilidad que se está formando de forma natural (y las variaciones) en el mercado?

Answer 1

Consideremos un modelo más plausible desde el punto de vista financiero que el de Black-Scholes: uno en el que las acciones pueden quebrar repentinamente debido a un fraude, y la volatilidad varía con el tiempo. Ninguno de los dos modelos es perfecto, pero el nuevo (llámese SVJ) estará "menos equivocado".

Matemáticamente, ya no tenemos la SDE de Black-Scholes basada en un único generador estocástico $W$

$$ \frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dW $$

sino una SDE con 3 generadores: $W,Z$ y un proceso de salto $J$

$$ \frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dW - dJ \\ d\sigma^2= \kappa(\bar{\sigma}^2-\sigma^2) dt + \eta \sigma^2 dZ $$

Es posible (aunque no especialmente fácil) adaptar este modelo más complicado y realista al mercado. Los grandes bancos lo hacen constantemente.

Cualquier modelo, incluyendo tanto el BS como el SVJ, puede funcionar "al revés", con lo que quiero decir que puede iniciar con un precio de opción y derivar un implícito parámetro. Si el modelo tiene $M$ parámetros $p_1, p_2, \dots, p_M$ que normalmente se utilizan para encontrar el precio de un modelo $V$ , entonces también podemos elegir uno cualquiera de los parámetros, llamarlo $p_n$ para derivar de un precio observado $P$ (normalmente mediante técnicas de búsqueda de raíces).

Supongamos que se hace un recorrido hacia atrás a partir de los precios de mercado para obtener los valores implícitos de $\sigma$ tanto para Black-Scholes como para SVJ. Se observará un sesgo mucho más plano para el SVJ. Esto es cierto incluso si eliminamos los saltos $J$ o la volatilidad estocástica $Z$ .

Aquí, por ejemplo, se muestra un sesgo en las volatilidades Black-Scholes que surge de la fijación de precios de una serie de opciones en un modelo propio de salto-difusión con una volatilidad plana (por strike) del 20%.

Vemos que un parámetro de volatilidad constante en el salto-difusión es equivalente a un sesgo de las volatilidades de Black-Scholes.

Conclusión: la sonrisa se debe a que el modelo es una simplificación demasiado fuerte de la realidad.

Answer 2

El modelo Black-Scholes se basa en la suposición de rendimientos lognormales del activo subyacente. Hay muchas pruebas y argumentos de que los rendimientos del mercado de valores no son normales sobre una base logarítmica, y tampoco hay ninguna razón particular para asumir una distribución normal. En particular, una sonrisa de volatilidad implícita es una prueba de "colas gordas" en los rendimientos esperados por los participantes en el mercado -exceso de curtosis, si se quiere. Taleb ha señalado que con más de 100 años de historia, simplemente no tenemos suficientes datos para estimar las colas o los momentos superiores de la distribución de los rendimientos del mercado de valores.

Edición: en R:

> library("moments")
> SPX <- read.csv("http://ichart.finance.yahoo.com/table.csv?s=%5EGSPC&d=10&e=10&f=2012&g=d&a=10&b=10&c=1992&ignore=.csv")
> kurtosis(diff(log(SPX$Adj.Close)))
[1] 11.36604

Eso es para los últimos veinte años menos un día de datos, y no incluye el crash de 1987. Para una distribución normal, esperaríamos que la curtosis fuera de 3. El exceso de curtosis en este caso es $11.36604-3=8.36604$ que sigue siendo significativamente no normal. El exceso de curtosis significa que una distribución tiene un centro más puntiagudo y colas más gordas que una distribución normal, lo que significa, en el caso de las opciones, una mayor probabilidad de que el subyacente tome valores muy alejados de su valor actual en el momento del vencimiento. Por eso, cuando no se tiene en cuenta el exceso de curtosis, las opciones más alejadas del dinero parecen implicar una mayor volatilidad del activo subyacente.

Answer 3

Puede que estés viendo lo mismo que yo (en las redes sociales), y he añadido los enlaces de abajo como prueba de ello, la mayoría de las veces, no definen lo que quieren decir (en este caso, sí lo hacen - por ejemplo, verás "el dinero inteligente se está moviendo contra el USD", etc). Este término es muy común en las discusiones sobre acciones en las redes sociales.

Ejemplo de StockTwit

Entrada en Tumblr

Según tengo entendido, se trata de personas que tienen un interés comercial en un puesto. Por ejemplo, si el precio del petróleo se pone por las nubes y una empresa tiene mucho que ganar con ello, puede tomar una cobertura contra la posición, en caso de que caiga, especialmente si el precio llega a un extremo y saben que no puede mantenerse (se verá un movimiento corto masivo). Esto también se aplica a las divisas (es decir, una empresa orientada a la exportación debe vigilar los tipos de cambio). Hay que tener en cuenta que no siempre son el movimiento "inteligente" y que generalmente se adelantan a la fiesta, como se puede ver con sus apuestas contra el petróleo (muy tempranas, y fíjese en lo rápido que recortaron algunos de los cortos cuando los precios se desplomaron). La clave es vigilar sus posiciones; por lo general, estarán cortos, pero cuando hacen una posición corta fuerte, eso podría significar que algo va a suceder.

No creo que se trate de un término económico, sino más bien de un término comercial.

Answer 4

Sólo para demostrar que efectivamente, $\sum_j K_jN_j = 1$ Tenemos lo siguiente:

$K_j$ es la fracción del gasto total dirigida al bien $j$ . El gasto total es también el ingreso de mercado (denotado por $I_m = p_1Q_1+...+p_nQ_n$ ). Así que

$$K_j = \frac {p_jQ_j}{I_m}$$

$N_j$ es el mercado elasticidad de la renta de la demanda del bien $j$ . Así que $$N_j = \frac {\partial Q_j}{\partial I_m}\cdot \frac {I_m}{Q_j}$$

Por lo tanto,

$$K_jN_j = \frac {p_jQ_j}{I_m}\cdot \frac {\partial Q_j}{\partial I_m}\cdot \frac {I_m}{Q_j}$$

Simplifica,

$$K_jN_j = p_j\frac {\partial Q_j}{\partial I_m}$$

En silencio, suponemos que los precios no se ven afectados. Así que podemos insertar el precio en la derivada parcial

$$K_jN_j = \frac {\partial (p_jQ_j)}{\partial I_m}$$

Entonces

$$\sum_j K_jN_j = \sum_j\frac {\partial (p_jQ_j)}{\partial I_m} = \frac {\partial }{\partial I_m}(p_1Q_1+...+p_nQ_n) = \frac {\partial I_m}{\partial I_m} = 1$$

Al ponderar la elasticidad de la demanda de ingresos para cada bien por el peso del gasto que tiene en el conjunto de la economía, llegamos esencialmente a una tautología, diciendo "si el gasto total del mercado aumenta en 100 euros, entonces... el gasto total del mercado aumentará en 100 euros". Lo que Becker quiere es descomponer esta tautología en algo un poco más perspicaz, en lo que respecta a las diferencias de ingresos individuales.

Answer 5

No parece especificar las palabras exactas del contrato de alquiler. Parece que en el Reino Unido los alquileres semanales son bastante comunes; sin embargo, en los Estados Unidos, normalmente se paga mensualmente.

Lo que esto habría significado normalmente en, digamos, California, es que usted pagaría por el 28 de febrero + todo el mes de marzo al mudarse, el 28 de febrero, y luego el pago de cada mes subsiguiente tiene que ser vencido por el 4 o 5 (el procedimiento exacto se describe en el contrato).

Sin embargo, curiosamente, la ley del estado de California dice que, a menos que se acuerde lo contrario en el contrato, hay que pagar un mes determinado al final de dicho mes; pero casi todos los contratos residenciales especifican lo contrario.

Lo que aporta esta pregunta es que las costumbres de alquiler son muy diferentes de un país a otro. Para su situación concreta, le sugiero que se fije en las condiciones exactas especificadas en el contrato. No importa lo que usted piense que es correcto o lo que el propietario piense que es correcto, si existe un desacuerdo, y ninguno de los dos métodos se ajusta al contrato.