Condiciones de suficiencia de Blackwell para una contracción:

Question

Me preguntaba si alguien podría arrojar alguna intuición sobre las condiciones de suficiencia de Blackwell:

(1) Monotonía; (2) Descuento;

Se agradecería sinceramente escuchar ambos términos expresados en un lenguaje sencillo.

Answer 1

Dejemos que $X$ sea un conjunto no vacío, $B(X)$ sea el espacio de funciones acotadas de $X$ a $\mathbb{R}$ y $\|\cdot\|_\infty$ la sup-norma en $B(X)$ . Escriba $f\leq g$ para $f,g\in B(X)$ si $f(x)\leq g(x)$ para todos $x\in X$ . Dejemos que $\mathbf{1}\in B(x)$ sea la función con valor constante $1$ .

Aquí está el resultado de Blackwell:

Teorema: Dejemos que $T:B(X)\to B(X)$ sea una función tal que para algún $\beta\in(0,1)$

1. Siempre que $f,g\in B(X)$ satisfacer $f\leq g$ entonces $T(f)\leq T(g)$ (monotonicidad).
2. Para todos $f\in B(X)$ y $\alpha\geq 0$ uno tiene $T(f+\alpha\mathbf{1})\leq T(f)+\alpha\beta\mathbf{1}$ (descuento).

Entonces, $\|T(f)-T(g)\|_\infty\leq \beta\|f-g\|_\infty$ para todos $f,g\in B(X)$ .

El siguiente argumento debería hacer las cosas un poco más transparentes. Tome $\alpha\geq 0$ lo suficientemente grande como para que ambos $f\leq g+\alpha\mathbf{1}$ y $g\leq f+\alpha\mathbf{1}$ retenciones. Dado que ambos $f$ y $g$ están acotados, esto es ciertamente posible.

Por monotonicidad, $$T(f)\leq T\big(g+\alpha\mathbf{1}\big).$$ Descontando, $$T(f)\leq T(g)+\beta\alpha\mathbf{1}.$$ Por lo tanto, $$T(f)-T(g)\leq \beta\alpha\mathbf{1}.$$ Cambiando $f$ y $g$ obtenemos $$T(g)-T(f)\leq \beta\alpha\mathbf{1}.$$ De ello se desprende que $$|T(g)(x)-T(f)(x)|\leq \beta\alpha$$ para todos $x\in X$ , lo que implica $$\|T(f)-T(g)\|_\infty\leq \beta\alpha.$$ Para terminar la prueba, basta con observar que podemos elegir $\alpha=\|f-g\|_\infty$ .

Aquí, la monotonicidad garantiza que $T$ preserva el ordenamiento puntual de las funciones, y el descuento garantiza que si aumentamos cada coordenada de una función en la misma cantidad, el valor resultante de $T$ aumenta como máximo $\beta$ veces esta cantidad.

Queremos utilizar el descuento incluso para dos funciones en las que ninguna es igual a la otra más una cantidad constante. La monotonicidad nos garantiza que si una función está acotada por encima de otra más un valor constante, se puede utilizar una acotación similar para las funciones transformadas bajo $T$ . Esto hace que el descuento sea mucho más potente.