Cálculo estocástico: ¿qué estoy haciendo mal?

Question

Es solo el computo de un segundo momento pero sin embargo esta creando debate !!... ¿Alguien puede detectar el error?

Answer 1

Para una martingala $\{M_t \mid t\geq 0\}$ y la integral estocástica \begin{align*} I_t = \int_0^tZ_s dM_s, \end{align*} tenemos que \begin{align*} E((I_t)^2) = E\bigg( \int_0^tZ_s^2 d\langle M\rangle_s\bigg), \end{align*} donde $\langle M\rangle$ es la variación cuadrática. Es decir, la isometría de ito sólo es válida para un integrador martingala.

Sin embargo, en su pregunta, $\{X_t \mid t\geq 0\}$ no es una martingala, entonces \begin{align*} E\big( Y_t^2)\big) \neq E\bigg(\int_0^t (1+s)^2 d\langle X\rangle_s \bigg). \end{align*} En cambio, como \begin{align*} Y_t^2 &= \bigg(4\int_0^t(1+s)ds + 6\int_0^t(1+s)W_sdW_s \bigg)^2\\ &=16\bigg( \int_0^t(1+s)ds\bigg)^2 + 48 \int_0^t(1+s)ds\int_0^t(1+s)W_sdW_s + 36 \bigg( \int_0^t(1+s)W_sdW_s\bigg)^2, \end{align*} entonces \begin{align*} E\big( Y_t^2)\big) &= 16\bigg( \int_0^t(1+s)ds\bigg)^2 + 36 E\bigg[\bigg( \int_0^t(1+s)W_sdW_s\bigg)^2\bigg]\\ &=16\bigg( \int_0^t(1+s)ds\bigg)^2 + 36 E\bigg[\bigg( \int_0^t(1+s)^2W_s^2ds\bigg)\bigg]\\ &= 16\bigg( \int_0^t(1+s)ds\bigg)^2 + 36\int_0^t(1+s)^2 s\, ds. \end{align*}