Diferencias de rendimiento y logreturns

Question

Tengo una serie temporal de precios de acciones y he intentado calcular los rendimientos simples y los rendimientos logarítmicos. Sin embargo, termino que los retornos simples tienen una media positiva, pero los retornos logarítmicos tienen una media negativa. ¿Es posible tener algo así en una muestra de datos?

Answer 1

Vale, esto no tiene por qué tener nada que ver con una sola muestra de datos. Es una diferencia inherente entre el comportamiento de los números lineales frente a los logarítmicos. Que es lo que conforman sus respectivos rendimientos simples y logarítmicos, y las medias asociadas.

Imagina que te ofrezco una apuesta en la que tú pones una libra sobre la mesa, yo pongo dos, lanzamos una moneda justa y el ganador se lo lleva todo. Es razonable imaginar que usted aceptaría esa apuesta; y seguiría aceptando esa apuesta mientras yo siguiera ofreciéndola. ¿Verdad? Es casi seguro que me ordeñarías hasta que me arruinara.

Imagina que Bill Gates te ofreciera el mismo juego, pero con apuestas del 100% de tu riqueza en lugar de 1 libra. ¿Jugarías a ese juego, enjuagando y repitiendo? Por supuesto que no. Hay un 50% de posibilidades de quiebra instantánea, y casi un 100% de posibilidades de quiebra final.

Las reglas del juego no han cambiado ;-) Pero, sin embargo, el juego no es claramente el mismo ;-) Esto no es más que una metáfora extrema (y espero que esclarecedora) de la diferencia entre lo lineal y logarítmico, es decir, el problema de la rentabilidad simple frente a la logarítmica al que te enfrentas.

Un ejemplo más sencillo: el mercado se reduce a la mitad y se duplica con la misma probabilidad. A largo plazo, su rendimiento esperado es claramente cero. Pero en cada iteración del camino, el rendimiento esperado es de +25% (50*100%-50%*50%). Otro ejemplo sencillo: un mercado en el que las probabilidades del próximo 10% son iguales al alza o a la baja. La rentabilidad esperada en cada iteración es cero. Pero el compuesto 1,1^0,5*0,9^0,5-1 = 0,995. equivale a una pérdida del 0,5% a largo plazo.

Hablando en voz baja, las apuestas justas representan malas inversiones; mientras que las inversiones de equilibrio representan apuestas favorables [si no se compone (jerga de las inversiones) = se dobla (jerga de las apuestas)]. No hay ningún punto moral aquí. Es simplemente aritmética contra matemáticas geométricas.

Normalmente (no es un juego de palabras), la diferencia entre los dos tiende a ser alrededor de la mitad de la varianza de los rendimientos en cuestión. Esto se debe simplemente a que la distribución normal (para rendimientos simples/aritméticos) es simétrica. La distribución lognormal (de los rendimientos logarítmicos/geométricos) no lo es (por los ejemplos anteriores). Es ligeramente sesgada, con una media de mu - 0,5 * sigma^2.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Esto sucede porque la función logarítmica es cóncava en torno a 1, lo que significa que devuelve números "más negativos" para valores menores que 1 que los valores positivos que devuelve para números a la misma distancia mayores que 1. Lo que esto significa en un sentido práctico es que cuando los rendimientos simples tienen una media de cero, los rendimientos logarítmicos son negativos, ya que los rendimientos negativos tienen un rendimiento logarítmico más negativo que los rendimientos positivos "iguales". Si la media aritmética es positiva pero cercana a cero, no es raro que la media de los rendimientos logarítmicos sea negativa.

Por ejemplo, si el rendimiento de dos períodos es de +10%, -10%, los rendimientos logarítmicos serían

ln(1.1) =  0.09531
ln(0.9) = -0.10536
------------------
mean    = -0.00503