Tipos de interés del cupón cero

Question

¿Cómo se obtienen los tipos de descuento para obtener los tipos de cupón cero teniendo en cuenta únicamente los tipos de swap? También, ¿qué es exactamente la calibración de la curva?

Answer 1

En general, véase la definición 1.5.3 en El fantástico libro de Brigo y Mercurios sobre la modelización de los tipos de interés un tipo de swap a plazo con fechas de pago $T_{\alpha+1},...,T_\beta$ viene dada por $$\begin{align*} S_{\alpha,\beta}(t) = \frac{P(t,T_\alpha)-P(t,T_\beta)}{\sum\limits_{i=\alpha+1}^\beta \tau(T_{i-1},T_i)\cdot P(t,T_i)}, \end{align*}$$ donde $\tau$ mide la diferencia entre dos puntos temporales con respecto a cualquier convención horaria del día. $P(t,T)$ es el tiempo $t$ precio de un bod de cupón cero sin impago con vencimiento $T$ pagando un valor nominal de 1$.

Con esta ecuación, dados todos los factores de descuento (bonos de cupón cero), se puede construir toda la curva de canje. Por otra parte, si se conocen todos los tipos de swap, se recupera la curva de bonos de cupón cero.

Te pongo un ejemplo sencillo suponiendo lo siguiente. Sea $t=0$ y suponer que el swap se paga semestralmente y por tanto $\tau(T_{i-1},T_i)=\frac{1}{2}$ . Supongamos además que el canje comienza inmediatamente y por tanto $T_\alpha=t=0$ (nota que $S_{0,\beta}(t)$ se conoce como tipo swap al contado). Además, utilizaré la capitalización continua de forma que $P(t,T)=e^{-r_{t,T}\cdot\tau(t,T)}$ donde $r$ es el correspondiente tipo cero (también conocido como tipo al contado). Por último, supongamos que el swap vence en dos años y se paga en 6 meses, 12 meses, 18 meses y 24 meses. Esto significa que $\beta=4$ y $T_1=0.5$ , $T_2=1$ , $T_3=1.5$ y $T_4=2$ . Entonces, la fórmula anterior se reduce a $$\begin{align*} S_{0.5} &= \frac{1-e^{-r_{0.5} \cdot 0.5}}{\frac{1}{2}e^{-r_{0.5} \cdot 0.5}}, \\ S_{1} &= \frac{1-e^{-r_{1} \cdot 1}}{\frac{1}{2}\left(e^{-r_{0.5} \cdot 0.5} + e^{-r_{1}\cdot 1} \right)}, \\ S_{1.5} &= \frac{1-e^{-r_{1.5} \cdot 1.5}}{\frac{1}{2}\left(e^{-r_{0.5} \cdot 0.5} + e^{-r_{1}\cdot 1}+ e^{-r_{1.5}\cdot 1.5} \right)},\\ S_{2} &= \frac{1-e^{-r_{2} \cdot 2}}{\frac{1}{2}\left(e^{-r_{0.5} \cdot 0.5} + e^{-r_{1}\cdot 1}+ e^{-r_{1.5}\cdot 1.5}+ e^{-r_{2}\cdot 2} \right)}. \end{align*}$$

Así podrá obtener sus tarifas cero paso a paso. Mira la primera ecuación, ya sabes $S_{0.5}$ de su curva de intercambio. Resuelva esta ecuación para obtener $r_{0.5}$ . Con este valor pasar a la siguiente ecuación, tomar $S_{1}$ de su curva de intercambio, enchufe todo y resuelva para $r_1$ etc. De este modo se obtienen todos los tipos cero y, por tanto, por definición, también los precios de los bonos (factores de descuento). La misma lógica (y la fórmula de arriba) se aplica si cambia el método de capitalización o si su canje paga anualmente o trimestralmente.

Editar

Sólo para aclarar, la elección $P(t,T)=e^{-r_{t,T} \tau(t,T)}$ era un mero ejemplo y, por supuesto, también se pueden utilizar tipos de interés discretos. En su lugar, se puede establecer simplemente $P(t,T) = \left( 1+\frac{y^k_{t,T}}{k} \right)^{-k\tau(t,T)}$ para un $k$ método de capitalización anual. Sin embargo, existe una relación evidente entre los tipos discretos y los continuos, por lo que siempre se puede convertir uno en el otro. Ambos métodos son equivalentes.

Además, me cuidaría mucho de condenar tajantemente a todos los " cálculo físico ", ya que ha demostrado ser extremadamente exitoso trabajar con modelos continuos en el tiempo tanto para la fijación de precios como para la cobertura de los contratos de derivados.

Answer 2

En primer lugar, tendrá que complementar los tipos de los swaps (que empiezan a los 2 años de vencimiento) con otros tipos a más corto plazo. Los tipos LIBOR en efectivo están disponibles para 1 día, 1 semana, 1 mes, 3, 6 y 12 meses.

Tenga en cuenta que los tipos LIBOR podrían eliminarse el año que viene en favor de los tipos SOFR, pero no está claro si los reguladores podrán aplicar este cambio a tiempo para su fecha límite. El LIBOR es demasiado importante como para "apagarlo" en la fecha decretada por los reguladores: el mercado se cerraría y causaría un caos económico. Es posible que los reguladores presionen para que se adopte el SOFR lo antes posible, pero hasta ahora hay muchos problemas de aplicación.

En segundo lugar, los swaps suelen pagar (y componer) semestralmente en la parte fija, no en "tiempo continuo" como se da a entender en la respuesta de KeSchn. e a la potencia de x no debería aparecer en una fórmula de bonos; no importa cuántos doctores en física intenten forzar el cálculo físico en las finanzas. Los tramos fijos de los swaps se componen semestralmente. No se trata sólo de ecuaciones físicas innecesarias, sino de un error.

Escribo algoritmos cuantitativos para un importante banco y coescribo un libro sobre algoritmos de arranque. La mayoría de los grandes bancos han eliminado su uso de modelos de tiempo continuo (e a la x), porque la gente como yo hizo mucho dinero arbitrando esos modelos erróneos con modelos correctos :)

Answer 3

Además los canjes de cupones cero son animales un poco raros. Puedes ponerles precio en bbg. No creo que haya muchos intercambios. Obviamente, se utilizan en muchos modelos. Puedes imaginar las diferencias con los cero del tesoro, ya que no estás pagando un descuento por adelantado para recibir la paridad al vencimiento. Se acumulan y se pagan al final, según recuerdo. No creo que la gente haya utilizado nada más que 3 millones de eurodólares para la parte delantera, ya que las otras libor básicamente se rompieron en la crisis y así como 4 compuestos de 3 millones de euros no será igual a 12 millones de libor, pero heurísticamente estaría más cerca de una tasa de swap de 1 año (la crisis hizo que el plazo frente a los revólveres realmente importa). Lo que dice John sobre el tiempo continuo es interesante. Sé que los operadores del lado de la venta hacen cosas arb/rv con euros e incluso como puntos impares en la curva de swap que son empujados hacia fuera con un gran desenredo o algo así. Ciertamente, las curvas de swap que he hecho siempre han utilizado convenciones de conteo de días reales, etc. Pero me parece interesante que, por lo general, la curva de swap parece ser continuamente diferenciable y suave. Creo que nunca he visto a un distribuidor cerrar su curva o la matriz a plazo cuando no lo es. Por eso los swaps son tan agradables para que los quants hagan todos los forwards y realicen simulaciones de tipos de interés (MBS) y coticen derivados complejos, todo ello con curvas suaves, etc. Sin embargo, el fenómeno de la suavidad siempre me ha parecido extraño. Otra nueva complicación para los swaps es el descuento de ois, que es mucho más complicado. Porque no se puede pasar sin más del forward al descuento y al cupón como se puede hacer con los bonos del tesoro, así que es un poco extraño.