¿Quién es Jacob? ¿Y dónde dijo esto?

Question

En Karl Marx "Das Kapital", en el Capítulo I.1 encontramos esta cita

"Jacob se pregunta si alguna vez se ha pagado el oro por su valor total".

¿Es Jacob Vanderlint? ¿En qué lugar de su libro "El dinero responde a todas las cosas" se encuentra esa afirmación sobre el valor del oro?

Answer 1

Suponemos que, bajo la medida de probabilidad$Q$, \begin{align*} dS_t &= S_t\big(r_t dt + \sigma dW_s(t)\big),\\ dr_t &= -k\, r_t dt + \alpha dW_r(t),\tag{1} \end {align *} donde$d\langle W_s(t), W_r(t)\rangle_t = \rho dt$. Desde$(1)$, para$s\ge t$, \begin{align*} r_s = e^{-k(s-t)}r_t + \alpha\int_t^s e^{-k(s-u)} dW_r(u). \end {align *} Luego, para$T\ge t$, \begin{align*} \int_t^T r_s ds &=\frac{r_t}{k}\left(1-e^{-k(T-t)} \right)+\alpha \int_t^T\!\!\!\int_t^s e^{-k(s-u)} dW_r(u) ds\\ &=\frac{r_t}{k}\left(1-e^{-k(T-t)} \right)+\alpha \int_t^T\!\!\!\int_u^T e^{-k(s-u)} ds dW_r(u) \\ &=\frac{r_t}{k}\left(1-e^{-k(T-t)} \right)+\alpha \int_t^T\frac{1}{k}\left(1-e^{-k(T-u)} \right) dW_r(u)\\ &=r_t\beta(t, T)+\alpha \int_t^T \beta(u, T) dW_r(u), \end {align *} donde$$\beta(t, T)=\frac{1}{k}\left(1-e^{-k(T-t)} \right).$ $ Por lo tanto, \begin{align*} E^Q\left(\frac{1}{B_T} \mid \mathcal{F}_t\right) &=\frac{1}{B_t}E^Q\left(e^{-\int_t^T r_s ds} \mid \mathcal{F}_t \right)\\ &=\frac{1}{B_t} e^{-r_t\beta(t, T) + \frac{\alpha^2}{2} \int_t^T \beta^2(u, T) du}. \end {align*} Además, \begin{align*} E^Q\left(S_T \mid \mathcal{F}_t\right) &= S_t E^Q\left(e^{\int_t^T r_s ds - \frac{\sigma^2}{2} (T-t) + \sigma \int_t^T dW_s(u)} \right)\\ &=S_t E^Q\left(e^{r_t\beta(t, T)+\alpha \int_t^T \beta(u, T) dW_r(u) - \frac{\sigma^2}{2} (T-t) + \sigma \int_t^T dW_s(u)} \right)\\ &=S_te^{r_t\beta(t, T)+ \frac{\alpha^2}{2} \int_t^T \beta^2(u, T) du +\alpha \sigma \rho \int_t^T\beta(u, T) du}. \end {align*} En consecuencia, \begin{align*} C(t, T) &= \frac{Fut}{Fwd}\\ &=\frac{E^Q\left(S_T \mid \mathcal{F}_t\right)}{E\left(\frac{S_T}{B_T} \mid \mathcal{F}_t\right)/E^Q\left(\frac{1}{B_T} \mid \mathcal{F}_t\right)}\\ &=\frac{S_te^{r_t\beta(t, T)+ \frac{\alpha^2}{2} \int_t^T \beta^2(u, T) du +\alpha \sigma \rho \int_t^T\beta(u, T) du}}{\frac{S_t}{B_t} B_t e^{r_t\beta(t, T) - \frac{\alpha^2}{2} \int_t^T \beta^2(u, T) du}}\\ &=e^{\alpha^2\int_t^T \beta^2(u, T) du +\alpha \sigma \rho \int_t^T\beta(u, T) du}. \end {align*}

No olvide el 1/2 en la función característica de la variable normal.