Soy nuevo y me cuesta entender cómo resolver esto usando el lema de Ito.
¿Puede alguien explicármelo, por favor?
$$dS_t=-\frac{1}{2}\sigma^2 S_t dW_t$$
cuál es la solución con explicación por favor
¿Por qué no es (-1/8sigma^4t...)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
tiit_helimut
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En realidad esto es sólo la SDE de Black-Scholes con deriva cero y $-\frac{1}{2}\sigma^2$ la volatilidad. Si se introduce esto en la conocida solución, se obtiene $S_t=S_0e^{\frac{1}{8}\sigma^4t-\frac{1}{2}\sigma^2 W_t}$ pero vamos a calcularlo con la fórmula de Ito.
Elija $f(x)=\log(x)$ entonces tenemos $f'(x)=\frac{1}{x}$ y $f''(x)=-\frac{1}{x^2}$ . Insertando en la fórmula de Ito se obtiene $$ d\log(S_t)=\frac{1}{S_t}dS_t+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{S_t^2}\right)d\langle S\rangle_t \\ =-\frac{1}{S_t}\frac{1}{2}\sigma^2S_tdW_t+\frac{1}{2}\frac{1}{S_t^2}\frac{1}{4}\sigma^4S_t^2dt \\ = \frac{1}{8}\sigma^4dt-\frac{1}{2}\sigma^2dW_t $$ o de forma equivalente $$ \log(S_t)=\log(S_0)+\frac{1}{8}\sigma^4 t-\frac{1}{2}\sigma^2W_t \\ \Leftrightarrow S_t=S_0\exp\left(\frac{1}{8}\sigma^4t-\frac{1}{2}\sigma^2W_t\right) $$
