¿Cuál es la probabilidad de que dos procesos independientes de OU estén por encima de las barreras al mismo tiempo?

Question

Tengo dos procesos de OU.

Me gustaría saber la probabilidad de que durante un periodo de tiempo de 0 a T ambos estén por encima de una barrera simultáneamente al menos una vez.

Answer 1

Aquí está mi código de Python para una pista de Monte Carlo a su pregunta. Simula el proceso Ornstein Uhlenbeck y calcula la probabilidad de tocar una barrera $B < r_0$ . Debe ajustarse para este caso de dos OU independientes.

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from math import *
import numpy.random as nrand

plt.style.use('seaborn')

# Parameters

r0 = 0.02  # Starting interest rate
time = 100  # Simulation time
delta = 1 / 252  # Delta time
sigma = 0.03  # Volatility
ou_a = 20  # Rate of mean reversion
ou_mu = 0.02  # Long run average
end = 90  # Time = T
end = end + 1
i = 1000  # Number of simulations
barrier = 0.01  # Level of barrier

def brownian_motion_log_returns(dt, sig):
    sqrt_delta_sigma = sqrt(dt) * sig
    return nrand.normal(loc=0, scale=sqrt_delta_sigma, size=time)

def ornstein_uhlenbeck(t, a, mu, dt):
    paths = [r0]
    brownian_motion_returns = brownian_motion_log_returns(delta, sigma)
    for i in range(1, t):
        drift = a * (mu - paths[i - 1]) * dt
        randomness = brownian_motion_returns[i - 1]
        paths.append(paths[i - 1] + drift + randomness)
    return paths

# MONTE CARLO SIMULATION

paths = []
for i in range(i):
    level = ornstein_uhlenbeck(time, ou_a, ou_mu, delta)
    paths.append(level)

paths = np.asarray(paths)
paths = paths.T
new_paths = np.delete(paths, np.s_[end:], 0)  # Remove paths beyond T
print(np.shape(new_paths))

# MC projection graph

plt.plot(new_paths, lw=0.5)
plt.axhline(y=barrier, color='b', linestyle='-', lw=0.7)
plt.title('Monte Carlo Simulations')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Level')
plt.show()

def prob(path, b, i):
    count = 0
    for col in path.T:
        a = min(col)
        if a < b:
            count = count + 1
    p = count / i
    return p

mcp = prob(new_paths, barrier, i)
print('Monte Carlo probability of touching:', mcp)