Estoy tratando con un proceso de Vasicek de reversión media definido como:
\begin{equation} S_t = S_0 e^{-at} + b(1-e^{(-at)}) + \sigma e^{(-at)} \int_{0}^{t} e^{(-as)} \ W_t \end{equation}
Quiero determinar la siguiente covarianza:
\begin{equation} Cov[(S_{t+i}),(S_{t})] \end{equation}
¿Podría alguien ayudarme con la derivación analítica? Gracias de antemano.
Una pista: Tenemos que empezar con SDE:
\begin{equation} S_t = S_0 e^{-at} + b(1-{\rm e}^{-at}) + \sigma \int_0^t {\rm e}^{-a(t-u)}\; dW_u \end{equation}
Como los dos primeros términos son deterministas, utilizando las propiedades estándar de la covarianza, el cálculo de $$ {\rm cov} (S_{t_1}, S_{t_2}) $$ puede reducirse al cálculo de
$$ {\rm cov} (Y_{t_1}, Y_{t_2}) $$ donde
$$ Y_t = \int_0^t {\rm e}^{au}\; dW_u. $$
El último cálculo de covarianza se puede encontrar aquí .
Editar: Una vez ${\rm cov} (S_{t_1}, S_{t_2})$ está disponible para todos $t_1$ y $t_2$ , propiedades de covarianza (en combinaciones lineales) puede utilizarse de nuevo para responder a la pregunta original.
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