¿Por qué la correlación entre r y V en el modelo de Longstaff y Schwartz de 1992 es positiva?

Question

Estoy leyendo el libro de Longstaff y Schwartz 1992 y 1993 .

Desde $r = \alpha x + \beta y$ y $V = \alpha^2 x + \beta^2 y$ . En el documento se menciona que el $r$ tiene una correlación positiva con $V$ .

Pero no pude demostrar que el $\operatorname{corr}(r, V)$ es positivo. ¿Podría darme la prueba o las pistas?

Answer 1

Humm....debe faltar alguna hipótesis.

Suponiendo que $\alpha>0,\beta>0$ se puede, sin pérdida de generalidad, establecer $\alpha=1$ . (ya que $\frac{r}{\alpha}$ y $\frac{V}{\alpha^2}$ estar correlacionado positivamente es lo mismo que $r$ y $V$ correlacionado positivamente)

ahora, la correlación positiva es equivalente a la covarianza positiva.

Trabajando con la covarianza y la hipótesis anterior, tengo :

$$\text{Cov}(r,V)=\text{Var}(x)+\beta^3\text{Var}(y)+(\beta+\beta^2)\text{Cov}(x,y)$$

Desde $\text{Cov}(x,y)=\rho_{xy}\sqrt{\text{Var}(x)\text{Var}(y)}$ con $\rho_{xy}$ siendo la correlación entre $x$ y $y$ .

que finalmente obtenemos dividiendo por $\text{Var}(x)$ y al establecer $z=\sqrt{\frac{\text{Var}(y)}{\text{Var}(x)}}$

$$\frac{\text{Cov}(r,V)}{\text{Var}(x)}\geq 1+\beta^3z^2-(\beta+\beta^2)z$$

que es una igualdad si $\rho_{xy}=-1$

ahora $$1+\beta^3z^2-(\beta+\beta^2)z\geq 1-\frac{(\beta+\beta^2)^2}{4\beta^3}$$

que es golpeado cuando $z=\frac{\beta+\beta^2}{2\beta^3}$

Con $\beta$ suficientemente pequeño, el rhs es negativo.

Por lo tanto, al establecer $x$ y $y$ con $\rho_{xy}=-1$ y $\text{Var}(y)=\left(\frac{\beta+\beta^2}{2\beta^3}\right)^2\text{Var}(x)$ y $\beta$ lo suficientemente pequeño, se obtiene un contraejemplo.