Ejemplo de función de producción con rendimientos crecientes a escala pero con producto marginal decreciente

Question

Sé que los rendimientos marginales decrecientes incluso para todos los factores de producción no implican rendimientos decrecientes a escala. Pero, ¿podría darme un ejemplo de dicha función de producción?

Answer 1

La disminución de los rendimientos marginales de un factor significa que, manteniendo fijos los demás factores, la producción marginal generada por este factor es decreciente. Al examinar los rendimientos a escala, cambiamos todos los productos. El aumento de un factor con rendimientos marginales decrecientes puede tener un efecto indirecto en el aumento de la productividad marginal de otros factores. Si aumentamos todos los factores al mismo tiempo, los efectos indirectos pueden superar al efecto directo. La función de producción $F:\mathbb{R}_+^2$ dado por $$F(x,y)=(x+1)^{2/3}(y+1)^{2/3}$$ tiene productividades marginales de los factores decrecientes en todas partes, pero no rendimientos decrecientes a escala (tampoco tiene rendimientos crecientes a escala).

Answer 2

Para los rendimientos marginales decrecientes requerimos que las segundas derivadas parciales sean negativas, ya que examinamos lo que ocurre si variamos sólo un insumo

Así que cualquier función $$y = \prod_{i=1}^{m}x_i^{a_i},\;\;\; 0<a_i<1\;\; \forall \,i$$

con $\sum a_i >1$ para los rendimientos crecientes de la escala, y con $\sum a_i <1$ para los rendimientos decrecientes a escala, ya que aquí examinamos lo que ocurre si aumentamos en la misma proporción todos los insumos.

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Responder a los comentarios

Comprobamos los rendimientos a escala de esta función examinando, para $k>1$ la expresión

$$ \prod_{i=1}^{m}(kx_i)^{a_i} = k^{\sum a_i}\cdot y$$

Si la suma de las alfas es superior a la unidad, la producción aumenta más que $k$ por lo que tenemos rendimientos crecientes a escala, y correspondientemente para rendimientos decrecientes a escala cuando la suma de las alfas es menor que la unidad.

En cuanto a los rendimientos marginales decrecientes, la tasa de variación de la producción marginal generada por un factor manteniendo los demás fijos viene dada por su propia segunda derivada parcial, que aquí es

$$\frac {\partial^2 y}{\partial x_i^2}= a_i(a_i-1)\cdot \frac {y}{x_i^2}$$

Cuando $0<a_i<1$ Estos segundos parciales son todos negativos.