¿la multiplicación de una matriz de covarianza por la inversa de una matriz de varianza generaría una matriz beta?

Question

Estaba multiplicando el popular cálculo w' * * w y se me ocurrió la idea de generar una matriz beta. multiplicando la Co-varianza por la varianza inversa. ¿Funcionaría esto? generando la beta de cada activo a la cartera de forma consistente? ¿O esto generaría algo inútil?

Answer 1

Regresión por mínimos cuadrados ordinarios estimación de beta de $y$ a $x$ viene dado por $$\beta = \frac{\textrm{cov}(x, y)}{\textrm{var}(x)}.$$

En su caso, desea calcular la beta del activo $i$ a su cartera $p=\sum_j w_j x_j$ . $$\beta_i = \frac{\textrm{cov}(x_i, p)}{\textrm{var}(p)} = \frac{\textrm{cov}(x_i, \sum_j w_j x_j)}{w^T\Sigma w} = \frac{\sum_j w_j\textrm{cov}(x_i, x_j)}{w^T\Sigma w}$$ Para el último paso, utilizamos la propiedad de covarianza que $$\textrm{cov}(X,aY+bZ) = a\,\textrm{cov}(X,Y)+b\,\textrm{cov}(X,Z).$$

Si desea calcular todas las betas a la vez, puede hacerlo en forma de matriz. $$\beta = \frac{\Sigma w}{w^T\Sigma w}$$