Según el lema de Ito, no hay restricciones en la continuidad del proceso estocástico. Las restricciones se encuentran en la continuidad del pago, de modo que existan derivadas segundas con respecto al activo subyacente.
¿Cuál es la lista de instrumentos financieros cuya evolución (derivada) no puede ser explicada por el lema de Ito? He pensado en las barreras, pero el valor presente de esas opciones también es continuo.
Adam, sigo pensando que tu pregunta es un poco vaga, pero tal vez lo siguiente te sea de ayuda.
En primer lugar, el teorema de Itô es una herramienta. Nunca te dará el precio por sí mismo. Al trabajar en la fórmula concreta, uno puede terminar usándola en un contexto u otro.
En el caso de una opción europea, siendo $h$ una función boreliana medible y $X_t$ un Proceso de Itô, se tiene $$g(t,x)=\mathbb{E}[h(X_T)|X_t=x]$$ Se puede demostrar que $g(t,x)$ es suave y así podemos aplicar Itô.
En el caso de las opciones americanas, podemos ejercer en cualquier momento. Sea $\Phi(s,X_s)$ el valor si la opción se ejerce en el tiempo $s$. La fórmula genérica de precio para una opción tipo americana es la siguiente
$$v(t,x)=\sup_{t\leq \tau \leq T}\mathbb{E}[\Phi(\tau,X_\tau)|X_t=x] $$
Debido al supremo, ya no se puede aplicar directamente Itô a $v(t,X_t)$. Hay casos en los que el $\sup$ de una función también será suave, pero no tiene por qué ser siempre así.
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