Producto marginal y producto medio

Question

Así que he visto en mis libros de texto y en muchos lugares en línea que cuando el producto marginal es más que el producto medio el producto medio es creciente, cuando el producto medio es decreciente el producto medio es mayor que el producto marginal. Entiendo la intuición económica detrás de todo esto, pero me preguntaba cómo se puede demostrar esto matemáticamente.

Answer 1

He aquí una explicación sencilla para una tecnología de entrada y salida única representada por una función de producción $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

Obsérvese que el Producto Medio (PA) se define como $$ AP(x) = \frac{f(x)}{x} $$ y el Producto Marginal (PM) se define como $$ MP(x) = \frac{\partial f(x)}{\partial x} = f'(x) $$

Ahora, tomamos la derivada de la función $AP(x)$ y entonces tenemos $$ \frac{\partial AP(x)}{\partial x} = \frac{f'(x)x-f(x)}{x^2} \\ = \frac{1}{x}\bigg[f'(x)-\frac{f(x)}{x}\bigg] \\ = \frac{1}{x}[MP(x)-AP(x)] $$

Desde $x$ indica el nivel de la entrada, $x>0$ y por lo tanto tenemos, $$ \frac{\partial AP(x)}{\partial x} > 0 \iff MP(x)>AP(x) $$ o $$ \frac{\partial AP(x)}{\partial x} < 0 \iff MP(x)<AP(x) $$