Cuestión de la condición de primer orden de la maximización de beneficios del juego de Cournot

Question

Mi pregunta se refiere a la última parte (adjunto el resto para contextualizar). No entiendo en absoluto la última línea. Pensaba que la condición de primer orden sería simplemente poner la derivada = 0. ¡Muy confundido! Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias :D

Answer 1

Para ampliar el comentario de @HerrK:

La regla del producto de la diferenciación es $$\frac{d}{dx}fg=f’g+fg’$$ El texto de su pregunta indica que está tratando de maximizar la cantidad $$[a-Q-c]q_i$$ Así que, como predijiste, debemos diferenciar esto y encontrar cuando la derivada es igual a $0$ . Si diferenciamos esto con respecto a $q_i$ y utilizar la regla del producto, estableciendo $f=a-Q-c$ y $g=q_i$ obtenemos $$-\frac{dQ}{dq_i}q_i+[a-Q-c]$$ ya que la derivada de $a-Q-c$ con respecto a $q_i$ es $\frac{dQ}{dq_i}$ (ya que $a,c$ son constantes) y la derivada de $q_i$ en relación con $q_i$ es $1$ . Si se fija en cero, se obtiene $$-q_i\frac{dQ}{dq_i}+[a-Q-c]=0$$ o, de forma equivalente, $$a-Q-c=q_i \frac{dQ}{dq_i}$$ que es la última línea del texto.