Movimiento browniano geométrico en un intervalo general $[t_1,t_2]$

Question

Sé que el movimiento browniano geométrico, con la expresión $dX_t = v X_t dt + \sigma X_t dW_t$ tiene la siguiente solución $$X_t = X_0 e^{\sigma W_t+ (v-\frac{\sigma ^2}{2})t}$$ en el intervalo [0,t]. Pero, ¿cuál sería la solución en un intervalo general $[t_1,t_2]$ ?

Sería, $X_{t_2} = X_{t_1} e^{\sigma (W_{t_2}-W_{t_1})+ (v-\frac{1}{2}\sigma^2)(t_2-t_1)}$ ?

Answer 1

Dejar $Y_t=\ln X_t$ por aplicación del lema de Ito tenemos $$\begin{align} dY_t=\frac{1}{X_t}dX_t-\frac{1}{2X_t^2}d[X,X](t)=(v-\frac{1}{2}\sigma^2)dt+\sigma\,dW_t \end{align}$$ por integración en $[t_1,t_2]$ tenemos $$\begin{align} Y_{t_2}=Y_{t_1}+(v-\frac{1}{2}\sigma^2)(t_2-t_1)+\sigma\,(W_{t_2}-W_{t_1}) \end{align}$$ entonces $$\begin{align} X_{t_2}=X_{t_1}exp\left((v-\frac{1}{2}\sigma^2)(t_2-t_1)+\sigma\,(W_{t_2}-W_{t_1})\right) \end{align}$$