Estoy tratando de derivar Gamma del principio de expectativa (diferenciando bajo signo de expectativa). Entiendo estos pasos
%-%-%-%-%,en el que %-%-%
pero las últimas transformaciones a %-%-% son muy confusas para mí.
El problema se ilustra en http://www.gold-saucer.org/math/diff-int/diff-int.pdf en la página 11.
La pista era establecer que hay errores tipográficos en el guión. Por lo tanto, debería haber tenido como objetivo probar %-%-%.
Por lo tanto, hemos
\begin{equation} \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}=Ke^{-r\tau}\mathbb{E}[\frac{\delta(S-U)}{U}] = Ke^{-r\tau} \int^{\infty}_0 \frac{\delta(S-u)}{u} \overbrace{\frac{\text{exp}(-\frac{(d_2(u))^2}{2})}{u\sqrt{2\pi}\sigma \sqrt{\tau}}}^{\text{log-normal pdf for U}} du \endecuación-
De las propiedades del delta de Dirac, sabemos que $\frac{Ke^{-r\tau}}{S^2\sigma\sqrt{\tau}}\Phi'(d_2)=\frac{\Phi'(d_1)}{S\sigma \sqrt{\tau}}$$ por lo tanto \begin{equation} \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}= \frac{Ke^{-r\tau}}{S^2\sigma \sqrt{\tau}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(d_2(S))^2}{2}} = \frac{Ke^{-r\tau}}{S^2\sigma \sqrt{\tau}} \Phi'(d_2) \endecuación
Esto se puede demostrar que % %-% \begin{align*} \Phi'(d_1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\left(d_1\right)^2}{2}}& =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\left(d_2+\sigma\sqrt{\tau}\right)^2}{2}} \ &= \text{exp}(-d_2\sigma\sqrt{\tau}-\frac{\sigma^2\tau}{2})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\left(d_2 \right)^2}{2}} \ &= \frac{K}{S}e^{-r\tau}\Phi'(d_2) \end--------------------------------------------------------------------------------
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