Ley de precio único en tiempo continuo

Question

La ley de un precio (es decir, para los activos$S^{(i)}$ y$S^{(j)}$,$S^{(i)}_T = S^{(j)}_T $ casi seguramente implica que$S^{(i)}_t = S^{(j)}_t $ casi seguramente para todos$ 0 \leq t \leq T$) se mantiene en tiempo discreto cuando no hay arbitraje.

Sin embargo, mi conferenciante afirma que esta declaración podría no ser válida en tiempo continuo. ¿Alguien puede darme un ejemplo de eso?

Answer 1

Sea$B_t=e^{\int_0^t r_s} ds$ el valor de la cuenta del mercado monetario en el momento$t$, donde$r_t$ es la tasa de interés corta. Entonces tanto$\{\frac{S_t^i}{B_t}, \, t \ge 0\}$ como$\{\frac{S_t^j}{B_t}, \, t \ge 0\}$ son martingalas. Por lo tanto, para$0 \le t \le T$, \begin{align*} \frac{S_t^i}{B_t} &= E\left(\frac{S_T^i}{B_T} \mid \mathcal{F}_t \right)\\ &= E\left(\frac{S_T^j}{B_T} \mid \mathcal{F}_t \right)\\ &= \frac{S_t^j}{B_t}. \end {align *} Es decir,$S_t^i = S_t^j$.